4. 2cos\(\frac{\pi}{2} - x\) = \(\sqrt{2}\);

Решение:

Воспользуемся формулой приведения для косинуса: \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x) \).

Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ 2 \sin(x) = \sqrt{2} \]\[ \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Общее решение уравнения \( \sin(x) = a \) имеет вид: \( x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} \).

Следовательно, решение уравнения:

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Рассмотрим два случая:

1. При \( n \) — чётном, \( n = 2k \) для \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

2. При \( n \) — нечётном, \( n = 2k+1 \) для \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{4} + \pi (2k+1) = -\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).