396 Докажите, что при любом значении х дисперсия случайной величины, имеющей распределение \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 0,2 & 0,6 & 0,2 \end{pmatrix} \), не меньше чем 0,15.

Решение:

Для доказательства вычислим дисперсию случайной величины \( \xi \) с данным распределением:

\[ \xi \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 0,2 & 0,6 & 0,2 \end{pmatrix} \]

Сумма вероятностей: \( 0,2 + 0,6 + 0,2 = 1 \).

Найдем математическое ожидание \( E(\xi) \):

\[ E(\xi) = 0 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,6 + x \cdot 0,2 = 0 + 0,6 + 0,2x = 0,6 + 0,2x \]

Найдем \( E(\xi^2) \):

\[ E(\xi^2) = 0^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,6 + x^2 \cdot 0,2 = 0 + 0,6 + 0,2x^2 = 0,6 + 0,2x^2 \]

Вычислим дисперсию \( D(\xi) \):

\[ D(\xi) = E(\xi^2) - (E(\xi))^2 = (0,6 + 0,2x^2) - (0,6 + 0,2x)^2 \]

\[ D(\xi) = 0,6 + 0,2x^2 - (0,36 + 0,24x + 0,04x^2) \]

\[ D(\xi) = 0,6 + 0,2x^2 - 0,36 - 0,24x - 0,04x^2 \]

\[ D(\xi) = 0,16x^2 - 0,24x + 0,24 \]

Теперь докажем, что \( D(\xi) \ge 0,15 \) для любого \( x \).

Перенесем 0,15 в левую часть:

\[ 0,16x^2 - 0,24x + 0,24 - 0,15 \ge 0 \]

\[ 0,16x^2 - 0,24x + 0,09 \ge 0 \]

Рассмотрим квадратное уравнение \( 0,16x^2 - 0,24x + 0,09 = 0 \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-0,24)^2 - 4 \cdot 0,16 \cdot 0,09 = 0,0576 - 0,0576 = 0 \]

Так как дискриминант равен нулю, парабола \( y = 0,16x^2 - 0,24x + 0,09 \) касается оси \( x \) в одной точке. Коэффициент при \( x^2 \) (0,16) положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что выражение \( 0,16x^2 - 0,24x + 0,09 \) всегда неотрицательно, то есть \( ≥ 0 \).

Следовательно, \( D(\xi) \ge 0,15 \) для любого значения \( x \).

Ответ: Доказано.