390 В оптовом магазине минеральная вода продаётся либо поштучно, либо упаковками по 2 или 16 бутылок. Предпочтения покупателей этой воды известны: вероятность покупки одной бутылки равна 0,74, упаковки из двух бутылок — 0,24, упаковки из 16 бутылок — 0,02. Найдите: а) дисперсию; б) стандартное отклонение величины «число бутылок в одной покупке». Результат округлите до сотых.

Решение:

Пусть \( X \) — случайная величина, равная числу бутылок в одной покупке. Возможные значения \( X \) и их вероятности:

• \( X_1 = 1 \) с вероятностью \( P(X_1) = 0,74 \)
• \( X_2 = 2 \) с вероятностью \( P(X_2) = 0,24 \)
• \( X_3 = 16 \) с вероятностью \( P(X_3) = 0,02 \)

а) Дисперсия \( D(X) \):

1. Найдём математическое ожидание \( M(X) \):
   \[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) = 1 \cdot 0,74 + 2 \cdot 0,24 + 16 \cdot 0,02 = 0,74 + 0,48 + 0,32 = 1,54 \]
2. Найдём математическое ожидание \( M(X^2) \):
   \[ M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(x_i) = 1^2 \cdot 0,74 + 2^2 \cdot 0,24 + 16^2 \cdot 0,02 = 1 \cdot 0,74 + 4 \cdot 0,24 + 256 \cdot 0,02 = 0,74 + 0,96 + 5,12 = 6,82 \]
3. Найдём дисперсию \( D(X) \):
   \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 6,82 - (1,54)^2 = 6,82 - 2,3716 = 4,4484 \]
4. Округлим до сотых: \( D(X) \approx 4,45 \)

б) Стандартное отклонение \( \sigma(X) \):

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4,4484} \approx 2,1091 \]

Округлим до сотых: \( \sigma(X) \approx 2,11 \)

Ответ: а) дисперсия \( D(X) \approx 4,45 \); б) стандартное отклонение \( \sigma(X) \approx 2,11 \).