39. Докажите иррациональность числа: а) $1+\sqrt2$; б) $\sqrt3+\sqrt2$; в) $2\sqrt3$; г) $\frac{\sqrt5}{2}$; д) $\frac1{\sqrt2}$; е) $\sqrt{2+\sqrt2}$; ж) $\sqrt5+\sqrt2-1$; з) $\sqrt7+\sqrt2+\sqrt3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 39. Докажите иррациональность числа: а) $1+\sqrt2$; б) $\sqrt3+\sqrt2$; в) $2\sqrt3$; г) $\frac{\sqrt5}{2}$; д)…$ Фото задания

39. Докажите иррациональность числа: а) $1+\sqrt2$; б) $\sqrt3+\sqrt2$; в) $2\sqrt3$; г) $\frac{\sqrt5}{2}$; д) $\frac1{\sqrt2}$; е) $\sqrt{2+\sqrt2}$; ж) $\sqrt5+\sqrt2-1$; з) $\sqrt7+\sqrt2+\sqrt3$.

Accepted Answer

Используем факт: если число $n$ не является точным квадратом натурального числа, то $\sqrt n$ иррационально. В частности, иррациональны $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\sqrt7,\sqrt{10},\sqrt{42}$.

а) Если бы $1+\sqrt2$ было рациональным, то
$\sqrt2=(1+\sqrt2)-1$ также было бы рациональным. Это противоречие.
Следовательно, $1+\sqrt2$ иррационально.
б) Предположим, что $r=\sqrt3+\sqrt2$ — рациональное число. Тогда
$\sqrt3=r-\sqrt2$.
Возведём в квадрат:
$3=r^2-2r\sqrt2+2$,
$2r\sqrt2=r^2-1$.
Так как $r\ne0$, получаем $\sqrt2=\frac{r^2-1}{2r}$, то есть рациональное число. Противоречие.
Следовательно, $\sqrt3+\sqrt2$ иррационально.
в) Если бы $2\sqrt3$ было рациональным, то после деления на рациональное число 2 число $\sqrt3$ было бы рациональным. Противоречие.
Следовательно, $2\sqrt3$ иррационально.
г) Если бы $\frac{\sqrt5}{2}$ было рациональным, то после умножения на 2 число $\sqrt5$ было бы рациональным. Противоречие.
Следовательно, $\frac{\sqrt5}{2}$ иррационально.
д) Если бы $\frac1{\sqrt2}$ было рациональным, то и обратное ему число $\sqrt2$ было бы рациональным. Противоречие.
Следовательно, $\frac1{\sqrt2}$ иррационально.
е) Предположим, что $x=\sqrt{2+\sqrt2}$ — рациональное число. Тогда
$x^2=2+\sqrt2$,
$\sqrt2=x^2-2$.
Правая часть рациональна, значит, рациональным было бы и $\sqrt2$. Противоречие.
Следовательно, $\sqrt{2+\sqrt2}$ иррационально.
ж) Предположим, что $r=\sqrt5+\sqrt2-1$ — рациональное число. Тогда $r+1=\sqrt5+\sqrt2$ — рациональное число. Возведём в квадрат:
$(r+1)^2=7+2\sqrt{10}$.
Отсюда $\sqrt{10}=\frac{(r+1)^2-7}{2}$ — рациональное число. Противоречие.
Следовательно, $\sqrt5+\sqrt2-1$ иррационально.
з) Предположим, что $r=\sqrt7+\sqrt2+\sqrt3$ — рациональное число. Тогда
$\sqrt2+\sqrt3=r-\sqrt7$.
Возведём в квадрат:
$5+2\sqrt6=r^2+7-2r\sqrt7$,
$2\sqrt6+2r\sqrt7=r^2+2$.
Возведём это равенство в квадрат:
$24+28r^2+8r\sqrt{42}=(r^2+2)^2$.
Следовательно, $\sqrt{42}$ выражается через рациональные числа и поэтому была бы рациональной. Это противоречие.
Следовательно, $\sqrt7+\sqrt2+\sqrt3$ иррационально.

Ответ: все числа а)–з) иррациональны.

39. Докажите иррациональность числа: а) \(1+\sqrt2\); б) \(\sqrt3+\sqrt2\); в) \(2\sqrt3\); г) \(\frac{\sqrt5}{2}\); д) \(\frac1{\sqrt2}\); е) \(\sqrt{2+\sqrt2}\); ж) \(\sqrt5+\sqrt2-1\); з) \(\sqrt7+\sqrt2+\sqrt3\).

Ответ: