389. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины, имеющей симметричное распределение: a) X ~ ( 2 4 6 8 10 / 0.01 0.24 0.5 0.24 0.01 ) 6) Y ~ ( -5 -3 -1 1 / 0.2 0.3 0.3 0.2 )

Решение задачи 389

Для симметрично распределенной случайной величины математическое ожидание (EX) равно среднему арифметическому значений.

а) Для случайной величины X ~ ( 2 4 6 8 10 / 0.01 0.24 0.5 0.24 0.01 )

Найдем математическое ожидание (EX):

\[ EX = 2 \times 0.01 + 4 \times 0.24 + 6 \times 0.5 + 8 \times 0.24 + 10 \times 0.01 \]

\[ EX = 0.02 + 0.96 + 3.0 + 1.92 + 0.1 = 6.0 \]

Теперь найдем дисперсию (DX). Мы можем использовать формулу: DX = E(X^2) - (EX)^2

Сначала найдем E(X^2):

\[ E(X^2) = 2^2 \times 0.01 + 4^2 \times 0.24 + 6^2 \times 0.5 + 8^2 \times 0.24 + 10^2 \times 0.01 \]

\[ E(X^2) = 4 \times 0.01 + 16 \times 0.24 + 36 \times 0.5 + 64 \times 0.24 + 100 \times 0.01 \]

\[ E(X^2) = 0.04 + 3.84 + 18.0 + 15.36 + 1.0 = 38.24 \]

Теперь вычислим дисперсию:

\[ DX = E(X^2) - (EX)^2 = 38.24 - (6.0)^2 = 38.24 - 36.0 = 2.24 \]

Стандартное отклонение (\(\sigma\)) равно квадратному корню из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{DX} = \sqrt{2.24} \approx 1.497 \]

б) Для случайной величины Y ~ ( -5 -3 -1 1 / 0.2 0.3 0.3 0.2 )

Найдем математическое ожидание (EY):

\[ EY = (-5) \times 0.2 + (-3) \times 0.3 + (-1) \times 0.3 + 1 \times 0.2 \]

\[ EY = -1.0 - 0.9 - 0.3 + 0.2 = -2.0 \]

Найдем E(Y^2):

\[ E(Y^2) = (-5)^2 \times 0.2 + (-3)^2 \times 0.3 + (-1)^2 \times 0.3 + 1^2 \times 0.2 \]

\[ E(Y^2) = 25 \times 0.2 + 9 \times 0.3 + 1 \times 0.3 + 1 \times 0.2 \]

\[ E(Y^2) = 5.0 + 2.7 + 0.3 + 0.2 = 8.2 \]

Вычислим дисперсию:

\[ DY = E(Y^2) - (EY)^2 = 8.2 - (-2.0)^2 = 8.2 - 4.0 = 4.2 \]

Стандартное отклонение (\(\sigma\)) равно квадратному корню из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{DY} = \sqrt{4.2} \approx 2.049 \]

Ответ:

• а) DX = 2.24; \(\sigma\) \(\approx\) 1.497
• б) DY = 4.2; \(\sigma\) \(\approx\) 2.049