386 Найдите дисперсию случайной величины: a) X ~ [-2, 0, 2; 0.2, 0.6, 0.2] б) X ~ [-3, 1, 3; 1/6, 1/2, 1/3] в) X ~ [2, 4, 6, 8, 10; 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]

Решение:

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле \( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \). Для начала найдём математическое ожидание \( E(X) \) и \( E(X^2) \) для каждого случая.

а) X ~ [-2, 0, 2; 0.2, 0.6, 0.2]

1. Математическое ожидание \( E(X) \):
   \( E(X) = (-2) \cdot 0.2 + 0 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.2 = -0.4 + 0 + 0.4 = 0 \)
2. Математическое ожидание \( E(X^2) \):
   \( E(X^2) = (-2)^2 \cdot 0.2 + 0^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.2 = 4 \cdot 0.2 + 0 \cdot 0.6 + 4 \cdot 0.2 = 0.8 + 0 + 0.8 = 1.6 \)
3. Дисперсия \( D(X) \):
   \( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.6 - 0^2 = 1.6 \)

б) X ~ [-3, 1, 3; 1/6, 1/2, 1/3]

1. Математическое ожидание \( E(X) \):
   \( E(X) = (-3) \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{3}{6} + \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 1 \)
2. Математическое ожидание \( E(X^2) \):
   \( E(X^2) = (-3)^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 3^2 \cdot \frac{1}{3} = 9 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{6} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{4}{2} + 3 = 2 + 3 = 5 \)
3. Дисперсия \( D(X) \):
   \( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5 - 1^2 = 5 - 1 = 4 \)

в) X ~ [2, 4, 6, 8, 10; 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]

1. Математическое ожидание \( E(X) \):
   \( E(X) = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.2 = (2+4+6+8+10) \cdot 0.2 = 30 \cdot 0.2 = 6 \)
2. Математическое ожидание \( E(X^2) \):
   \( E(X^2) = 2^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.2 + 6^2 \cdot 0.2 + 8^2 \cdot 0.2 + 10^2 \cdot 0.2 \)
   \( E(X^2) = (4 + 16 + 36 + 64 + 100) \cdot 0.2 = 220 \cdot 0.2 = 44 \)
3. Дисперсия \( D(X) \):
   \( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 44 - 6^2 = 44 - 36 = 8 \)

Ответ: а) 1.6; б) 4; в) 8.