380 Игральная кость в форме тетраэдра (рис. 138) нагружена несимметрично: вероятность выпадения вершины пропорциональна числу, записанному около этой вершины. Кость бросают, пока не выпадет вершина 2 или вершина 3. Найдите математическое ожидание числа сделанных бросков.

Решение:

Игральная кость — тетраэдр. На рёбрах тетраэдра расположены числа: 1, 2, 3, 4. Вероятность выпадения вершины пропорциональна числу у вершины. Сумма чисел на гранях тетраэдра (согласно рисунку 138): \( 3+4+2+1 = 10 \).

Вероятность выпадения каждой вершины:

• \( P(1) = \frac{1}{10} \)
• \( P(2) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
• \( P(3) = \frac{3}{10} \)
• \( P(4) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

Бросают до тех пор, пока не выпадет вершина 2 или 3. Событие \( A \) — выпала вершина 2 или 3. Вероятность события \( A \):

\[ P(A) = P(2) + P(3) = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Событие \( B \) — выпала вершина 1 или 4. Вероятность события \( B \):

\[ P(B) = P(1) + P(4) = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Задача сводится к тому, чтобы найти математическое ожидание числа бросков в геометрической прогрессии. Если вероятность успеха \( p \) (выпадение 2 или 3), то математическое ожидание числа бросков равно \( \frac{1}{p} \).

В данном случае \( p = P(A) = \frac{1}{2} \).

Математическое ожидание числа бросков \( E(X) \) равно:

\[ E(X) = \frac{1}{P(A)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

Ответ: 2