377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Так как точка H лежит на стороне MQ, то MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8 см.

В треугольнике MNH угол H прямой, а ∠MNH = 30°. Следовательно, это треугольник с углами 30°, 60° и 90°.

Сторона MH, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы MN:

\(MN = 2MH = 2 \cdot 3 = 6\) см.

По теореме Пифагора:

\(NH = \sqrt{MN^2 - MH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому:

• \(NP = MQ = 8\) см;
• \(PQ = MN = 6\) см.

Угол между MN и MQ равен углу между MN и MH. Так как в треугольнике MNH третий угол равен:

\(\angle NMH = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\),

то угол параллелограмма при вершине M равен 60°. Соседние углы параллелограмма supplementary, а противоположные равны:

• \(\angle M = \angle P = 60^\circ\);
• \(\angle N = \angle Q = 120^\circ\).

Ответ: \(MN = PQ = 6\) см, \(MQ = NP = 8\) см; \(\angle M = \angle P = 60^\circ\), \(\angle N = \angle Q = 120^\circ\).