371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники \(\triangle BAC\) и \(\triangle ACD\).

1. По условию \(\angle BAC=\angle ACD\), а \(\angle BCA=\angle DAC\).
2. Сторона \(AC\) является общей для обоих треугольников.
3. Следовательно, \(\triangle BAC\cong\triangle ACD\) по стороне и двум прилежащим углам.
4. Из равенства соответствующих углов получаем \(\angle BCA=\angle DAC\), поэтому \(BC\parallel AD\) как накрест лежащие углы при секущей \(AC\).
5. Аналогично из равенства \(\angle BAC=\angle ACD\) следует \(AB\parallel CD\).

В выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

б) По условию \(AB\parallel CD\). Рассмотрим секущую \(AD\): тогда внутренние односторонние углы удовлетворяют \(\angle A+\angle D=180^\circ\).

1. Так как \(\angle A=\angle C\), получаем \(\angle C+\angle D=180^\circ\).
2. Это внутренние односторонние углы при прямых \(BC\) и \(AD\), поэтому \(BC\parallel AD\).
3. Таким образом, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны: \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\).

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.