37. Найдите значение выражения $$\frac{\sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)}{\cos\alpha}$$, если ctga = (2√3)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса разности: \(\sin(\frac{\pi}{6}-\alpha) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha\).

Подставим известные значения:

\(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)

\(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Тогда числитель равен: \(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\).

Выражение принимает вид: \(\frac{\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\text{ctg}\alpha\).

По условию \(\text{ctg}\alpha = 2\sqrt{3}\).

Подставим это значение:

\(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2}\).

Ответ: -$$\frac{5}{2}$$