367 Из 27 игральных кубиков сложен куб, причём положение каждого из кубиков случайное (рис. 137). а) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, которые оказались на поверхности куба. б) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.

Решение задачи 367:

Дано:

• Из 27 игральных кубиков сложен большой куб.
• Положение каждого кубика случайное.

Найти:

• а) Математическое ожидание числа шестёрок на поверхности большого куба.
• б) Математическое ожидание суммы чисел на поверхности большого куба.

Анализ структуры большого куба:

Большой куб состоит из \( 3 × 3 × 3 = 27 \) малых кубиков.

Граней на поверхности большого куба: 6 (верхняя, нижняя, передняя, задняя, левая, правая).

Количество малых кубиков на поверхности большого куба:

• Угловые кубики: 8 (у каждого 3 грани видны).
• Реберные кубики (не угловые): 12 (у каждого 2 грани видны).
• Центральные кубики на гранях: 6 (у каждого 1 грань видна).
• Центральный кубик в середине: 1 (0 граней видны).

Всего малых кубиков на поверхности: \( 8 + 12 + 6 = 26 \). (Или \( 27 - 1 \) центральный кубик).

Для одного малого кубика:

• Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Математическое ожидание числа на одной грани: \( E(X_{face}) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \).

а) Математическое ожидание числа шестёрок на поверхности куба:

Рассмотрим малые кубики, грани которых видны на поверхности большого куба.

1. Угловые кубики (8 штук):

• Каждый имеет 3 видимые грани.
• Вероятность выпадения шестёрки на одной грани = \( \frac{1}{6} \).
• Вероятность НЕ выпадения шестёрки на одной грани = \( \frac{5}{6} \).
• Вероятность выпадения шестёрки ровно на 1 из 3 видимых граней: \( C(3,1) \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} \).
• Вероятность выпадения шестёрки ровно на 2 из 3 видимых граней: \( C(3,2) \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^1 = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216} \).
• Вероятность выпадения шестёрки ровно на 3 из 3 видимых граней: \( C(3,3) \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{216} \cdot 1 = \frac{1}{216} \).
• Математическое ожидание числа шестёрок на одном угловом кубике: \( E(\text{шестёрки на угловом}) = 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{15}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216} = \frac{75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216} = 0.5 \).

2. Реберные кубики (12 штук):

• Каждый имеет 2 видимые грани.
• Математическое ожидание числа шестёрок на одном ребёрном кубике: \( E(\text{шестёрки на ребёрном}) = 1 \cdot P(\text{шестёрка на 1 из 2}) + 2 \cdot P(\text{шестёрки на 2 из 2}) \)
• \( P(\text{шестёрка на 1 из 2}) = C(2,1) \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^1 = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{36} \)
• \( P(\text{шестёрки на 2 из 2}) = C(2,2) \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{36} \)
• \( E(\text{шестёрки на ребёрном}) = 1 \cdot \frac{10}{36} + 2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{10+2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \).

3. Центральные кубики на гранях (6 штук):

• Каждый имеет 1 видимую грань.
• Математическое ожидание числа шестёрок на одном центральном кубике: \( E(\text{шестёрки на центре грани}) = 1 \cdot P(\text{шестёрка}) = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \).

Общее математическое ожидание числа шестёрок:

\( E(\text{всего шестёрок}) = 8 \cdot E(\text{угловой}) + 12 \cdot E(\text{реберный}) + 6 \cdot E(\text{центральный}) \)

\( E(\text{всего шестёрок}) = 8 \cdot \frac{1}{2} + 12 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 4 + 4 + 1 = 9 \)

б) Математическое ожидание суммы чисел на поверхности куба:

Сначала найдём математическое ожидание суммы чисел на одной грани большого куба. Каждая грань состоит из 9 малых кубиков.

Рассмотрим одну грань большого куба (9 малых кубиков):

• 4 угловых кубика (видимы 1 гранью). Математическое ожидание числа на одном = 3.5.
• 4 реберных кубика (видимы 1 гранью). Математическое ожидание числа на одном = 3.5.
• 1 центральный кубик (видим 1 гранью). Математическое ожидание числа на одном = 3.5.

Математическое ожидание суммы чисел на одной грани большого куба:

\( E(\text{сумма на грани}) = 4 \cdot E(X_{face}) + 4 \cdot E(X_{face}) + 1 \cdot E(X_{face}) = (4+4+1) \cdot E(X_{face}) = 9 \cdot 3.5 = 31.5 \)

Общее математическое ожидание суммы чисел на поверхности большого куба:

Большой куб имеет 6 граней.

\( E(\text{общая сумма}) = 6 \cdot E(\text{сумма на грани}) = 6 \cdot 31.5 = 189 \)

Ответ: а) 9; б) 189.