(366(364). Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур не обрываясь, равна 550 Н. ¹ В задачах 357–373 сопротивление воздуха не учитывать. 52

Дано:

• Масса груза (m) = 25 кг;
• Длина шнура (l) = 2,5 м;
• Максимальная сила натяжения (F_max) = 550 Н;
• Ускорение свободного падения (g) ≈ 10 Н/кг (примем для расчета).

Найти: Наибольшую высоту (h) отведения груза от положения равновесия.

Решение:

Когда груз отведен в сторону на максимальную высоту и находится в состоянии покоя, сила натяжения шнура равна весу груза:

F_натяжения_покой = m * g

F_натяжения_покой = 25 кг * 10 Н/кг = 250 Н

Эта сила меньше максимальной силы натяжения шнура (250 Н < 550 Н), поэтому шнур не оборвется в начальный момент отведения.

Максимальная сила натяжения возникнет в нижней точке траектории колебаний. В этой точке на груз действуют две силы: сила тяжести (mg), направленная вниз, и сила натяжения шнура (F_max), направленная вверх. Центростремительное ускорение (a_ц) направлено вверх.

По второму закону Ньютона в нижней точке:

F_max - m * g = m * a_ц

Центростремительное ускорение связано с линейной скоростью (v) и радиусом окружности (l, длина шнура) следующим образом:

a_ц = v^2 / l

Подставим это в уравнение второго закона Ньютона:

F_max - m * g = m * (v^2 / l)

Выразим скорость в нижней точке:

v^2 = (F_max - m * g) * l / m

Подставим известные значения:

v^2 = (550 Н - 250 Н) * 2,5 м / 25 кг

v^2 = 300 Н * 2,5 м / 25 кг = 750 / 25 м²/с² = 30 м²/с²

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная потенциальная энергия груза (в наивысшей точке отведения) перейдет в кинетическую энергию в нижней точке траектории.

Начальная высота отведения груза от нижней точки равна:

h = l - l * cos(α) , где α - угол отклонения от вертикали.

В наивысшей точке отведения скорость равна нулю, поэтому вся энергия — потенциальная:

E_pot_max = m * g * h

В нижней точке вся энергия — кинетическая:

E_kin_min = 0.5 * m * v^2

По закону сохранения энергии:

E_pot_max = E_kin_min

m * g * h = 0.5 * m * v^2

Сократим массу (m):

g * h = 0.5 * v^2

Выразим высоту (h):

h = v^2 / (2 * g)

Подставим значение v^2:

h = 30 м²/с² / (2 * 10 Н/кг)

h = 30 / 20 м = 1,5 м

Ответ: Наибольшая высота, на которую можно отвести груз, составляет 1,5 м.