36. Найдите корни уравнения:

Решение:

a)

\(\frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x+5} = 2\)

Приведём к общему знаменателю \( (x-5)(x+5) = x^2 - 25 \).

\((x-4)(x+5) + (x-6)(x-5) = 2(x^2 - 25)\)

\(x^2 + 5x - 4x - 20 + x^2 - 5x - 6x + 30 = 2x^2 - 50\)

\(2x^2 - 10x + 10 = 2x^2 - 50\)

-10x = -60

x = 6

Ответ: x = 6.

б)

\(\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2-12}\)

Заметим, что \(2-x = -(x-2)\) и \(3x^2-12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)\).

\(\frac{-1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}\)

Перенесём все члены в одну сторону:

\(\frac{-1}{x-2} - \frac{1}{x-2} - 1 + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0\)

\(\frac{-2}{x-2} - 1 + \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0\)

Приведём к общему знаменателю \( 3(x-2)(x+2) \).

\(-2 \cdot 3(x+2) - 1 \cdot 3(x-2)(x+2) + (6-x) = 0\)

\(-6x - 18 - 3(x^2-4) + 6 - x = 0\)

\(-6x - 18 - 3x^2 + 12 + 6 - x = 0\)

-3x^2 - 7x = 0

3x^2 + 7x = 0

x(3x+7) = 0

x=0 или x = -7/3.

Проверим, не равны ли знаменатели нулю при этих значениях.

При \(x=0\): \(2-0=2\), \(0-2=-2\), \(3(0)^2-12=-12\). Знаменатели не равны нулю.

При \(x=-7/3\): \(2 - (-7/3) = 13/3\), \(-7/3 - 2 = -13/3\), \(3(-7/3)^2 - 12 = 3(49/9) - 12 = 49/3 - 36/3 = 13/3\). Знаменатели не равны нулю.

Ответ: x = 0, x = -7/3.

в)

\(\frac{7y-3}{y-y^2} - 1 = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}\)

Заметим, что \(y-y^2 = y(1-y) = -y(y-1)\).

\(\frac{7y-3}{-y(y-1)} - 1 = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}\)

\(\frac{-(7y-3)}{y(y-1)} - 1 = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}\)

\(\frac{-7y+3}{y(y-1)} - 1 = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}\)

Приведём к общему знаменателю \( y(y-1) \).

\(-7y+3 - y(y-1) = y - 5\)

\(-7y+3 - y^2 + y = y - 5\)

-y^2 - 6y + 3 = y - 5

-y^2 - 7y + 8 = 0

y^2 + 7y - 8 = 0

По теореме Виета: \(y_1 + y_2 = -7\), \(y_1 y_2 = -8\).

Это \(y=1\) и \(y=-8\).

Однако, \(y=1\) делает знаменатель \(y-1\) равным нулю, поэтому \(y=1\) — посторонний корень.

Ответ: y = -8.

г)

\(\frac{3}{y-2} + \frac{7}{y+2} = \frac{10}{y}\)

Приведём к общему знаменателю \( y(y-2)(y+2) \).

\(3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y-2)(y+2)\)

\(3y^2 + 6y + 7y^2 - 14y = 10(y^2 - 4)\)

\(10y^2 - 8y = 10y^2 - 40\)

-8y = -40

y = 5

Проверим знаменатели: \(5-2=3\), \(5+2=7\), \(5\). Все не равны нулю.

Ответ: y = 5.

д)

\(\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\)

Приведём к общему знаменателю \( (x-3)(x+3) = x^2-9 \).

\((x+3)^2 + (x-3)^2 = \frac{10}{3}(x^2-9)\)

\(x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = \frac{10}{3}(x^2-9)\)

\(2x^2 + 18 = \frac{10}{3}(x^2-9)\)

Умножим обе части на 3:

\(6x^2 + 54 = 10(x^2-9)\)

\(6x^2 + 54 = 10x^2 - 90\)

-4x^2 = -144

x^2 = 36

x = 6 или x = -6.

Проверим знаменатели: \(x-3\) и \(x+3\). При \(x=6\) и \(x=-6\) знаменатели не равны нулю.

Ответ: x = 6, x = -6.

е)

\(\frac{5x+7}{x-2} - \frac{2x+21}{x+2} = 8 \frac{2}{3} = \frac{26}{3}\)

Приведём к общему знаменателю \( 3(x-2)(x+2) \).

\(3(5x+7)(x+2) - 3(2x+21)(x-2) = 26(x-2)(x+2)\)

\(3(5x^2 + 10x + 7x + 14) - 3(2x^2 - 4x + 21x - 42) = 26(x^2-4)\)

\(3(5x^2 + 17x + 14) - 3(2x^2 + 17x - 42) = 26x^2 - 104\)

\(15x^2 + 51x + 42 - 6x^2 - 51x + 126 = 26x^2 - 104\)

\(9x^2 + 168 = 26x^2 - 104\)

-17x^2 = -272

x^2 = \(\frac{272}{17}\)

x^2 = 16

x = 4 или x = -4.

Проверим знаменатели: \(x-2\) и \(x+2\). При \(x=4\) и \(x=-4\) знаменатели не равны нулю.

Ответ: x = 4, x = -4.