355 Дан параллелепипед ABCDABCD₁. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) АА₁, CC₁, BB₁; б) AB, AD, AA₁; В) B₁B, AC, DD₁; г) AD, CC₁, AB₁?

Решение:

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных друг другу.

Рассмотрим векторы для каждого пункта:

1. а) \(\vec{AA_1}, \vec{CC_1}, \vec{BB_1}\). Эти векторы параллельны между собой и являются векторами боковых ребер параллелепипеда. Следовательно, они компланарны.
2. б) \(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1}\). Эти векторы выходят из одной вершины \(A\) и определяют стороны параллелепипеда. Они являются базисными векторами параллелепипеда и, следовательно, компланарны.
3. В) \(\vec{B_1B}, \vec{AC}, \vec{DD_1}\). Вектор \(\vec{B_1B}\) равен \(\vec{AA_1}\) и \(\vec{DD_1}\). Вектор \(\vec{AC}\) лежит в плоскости основания ABCD. Векторы \(\vec{AA_1}\) и \(\vec{AC}\) не лежат в одной плоскости, так как \(\vec{AA_1}\) перпендикулярен плоскости основания. Следовательно, эти векторы не компланарны.
4. г) \(\vec{AD}, \vec{CC_1}, \vec{AB_1}\). Вектор \(\vec{AD}\) лежит в плоскости грани ABCD. Вектор \(\vec{CC_1}\) параллелен \(\vec{AA_1}\) и \(\vec{DD_1}\). Вектор \(\vec{AB_1}\) является диагональю грани ABB₁A₁. Вектор \(\vec{CC_1}\) не лежит в плоскости грани ABB₁A₁ и не параллелен ей. Вектор \(\vec{AD}\) также не лежит в плоскости грани ABB₁A₁ и не параллелен ей. Следовательно, эти векторы не компланарны.

Ответ: Компланарны векторы из пунктов а) и б).