351. В одном из городов Грузии часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть — только по-русски. По-грузински говорят 85% всех жителей, по-русски — 75%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?

Решение:

Обозначим:

• \( G \) — процент жителей, говорящих по-грузински.
• \( R \) — процент жителей, говорящих по-русски.
• \( G \cap R \) — процент жителей, говорящих на обоих языках.
• \( G ∪ R \) — процент жителей, говорящих хотя бы на одном языке (грузинском или русском).

Из условия задачи известно:

• \( G = 85\% \)
• \( R = 75\% \)

Мы знаем, что общее число жителей — \( 100\% \). Формула включения-исключения для двух множеств:

\( |G ∪ R| = |G| + |R| - |G ∩ R| \)

Так как все жители говорят хотя бы на одном из этих языков (по условию задачи, никто не говорит только на другом языке, либо на грузинском, либо на русском), то \( |G ∪ R| = 100\% \).

Подставляем известные значения:

\( 100\% = 85\% + 75\% - |G ∩ R| \)

\( 100\% = 160\% - |G ∩ R| \)

Теперь найдём \( |G ∩ R| \):

\( |G ∩ R| = 160\% - 100\% \)

\( |G ∩ R| = 60\% \)

Таким образом, 60% жителей говорят на обоих языках.

Ответ: 60%