342 Докажите, что если хорды окружности равноудалены от ее центра, то они равны.

Доказательство:

Представь себе окружность с центром в точке O. Возьмем две хорды, AB и CD, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это значит, что перпендикуляры, опущенные из центра O на эти хорды (назовем их OM и ON, где M — середина AB, а N — середина CD), равны по длине: OM = ON.

Теперь проведем радиусы от центра O к концам хорд: OA, OB, OC, OD. Все эти радиусы, конечно же, равны.

Рассмотрим треугольники △OAM и △OCN. Мы знаем, что:

• OA = OC (это радиусы).
• OM = ON (по условию задачи — хорды равноудалены от центра).
• Углы ∠OMA и ∠ONC — прямые (по 90 градусов), так как OM и ON — перпендикуляры.

Эти два треугольника являются прямоугольными. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету: OA=OC и OM=ON), треугольники △OAM и △OCN равны.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. В частности, AM = CN.

Мы знаем, что хорды AB и CD делятся перпендикулярами из центра пополам (M и N — середины хорд). Значит:

• AB = 2 * AM
• CD = 2 * CN

Поскольку AM = CN, то и 2 * AM = 2 * CN, а значит, AB = CD.

Таким образом, мы доказали, что если хорды окружности равноудалены от ее центра, то они равны.

Что и требовалось доказать.