341 Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Question

Вопрос:

341 Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для доказательства используется теорема о равенстве треугольников. Если две хорды равны, то треугольники, образованные радиусами и половинами хорд, будут равны по трём сторонам, что означает равенство соответствующих высот, которые и являются расстоянием от центра до хорд.

Пошаговое решение:

Рассмотрим окружность с центром O и две равные хорды AB и CD (AB = CD).
Проведем перпендикуляры OM и ON из центра окружности O к хордам AB и CD соответственно. Эти перпендикуляры являются расстояниями от центра до хорд.
В прямоугольных треугольниках △OMA и △ONC:
- AO = CO (радиусы окружности).
- AM = CN (так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам, а хорды равны: AM = AB/2, CN = CD/2, AB = CD).
По теореме о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (AO = CO, AM = CN), треугольники △OMA и △ONC равны.
Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны: OM = ON.
Таким образом, равные хорды AB и CD равноудалены от центра окружности O.

Доказано.