341. Для работы в парах. Решите уравнение: а) \(1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5-x^2}}}=1\frac{7}{24}\); б) \(1-\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{10-x^2}}}=\frac{3}{5}\). Обсудите, какие преобразования выполнены и в какой последовательности. Выполните проверку.

а)

1. Преобразуем смешанное число: \(1\frac{7}{24}=\frac{31}{24}\).
2. Вычтем 1: \(\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{5-x^2}}}=\frac{7}{24}\).
3. Перевернём обе части равенства: \(3+\frac{1}{2+\frac{1}{5-x^2}}=\frac{24}{7}\).
4. Вычтем 3: \(\frac{1}{2+\frac{1}{5-x^2}}=\frac{3}{7}\).
5. Перевернём обе части: \(2+\frac{1}{5-x^2}=\frac{7}{3}\).
6. Вычтем 2: \(\frac{1}{5-x^2}=\frac{1}{3}\), поэтому \(5-x^2=3\).
7. Получаем \(x^2=2\), откуда \(x=\pm\sqrt{2}\).

Проверка: при \(x^2=2\) имеем \(5-x^2=3\), поэтому
\(1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}=1+\frac{1}{3+\frac{3}{7}}=1+\frac{7}{24}=1\frac{7}{24}\).

б)

1. Вычтем левую дробь из 1: \(\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{10-x^2}}}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\).
2. Перевернём обе части: \(2+\frac{1}{1+\frac{1}{10-x^2}}=\frac{5}{2}\).
3. Вычтем 2: \(\frac{1}{1+\frac{1}{10-x^2}}=\frac{1}{2}\).
4. Перевернём обе части: \(1+\frac{1}{10-x^2}=2\).
5. Вычтем 1: \(\frac{1}{10-x^2}=1\), поэтому \(10-x^2=1\).
6. Получаем \(x^2=9\), откуда \(x=\pm3\).

Проверка: при \(x^2=9\) имеем \(10-x^2=1\), поэтому
\(1-\frac{1}{2+\frac{1}{1+1}}=1-\frac{1}{\frac{5}{2}}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).

Ответ: а) \(x=\pm\sqrt{2}\); б) \(x=\pm3\).