33. Найдите все первообразные функции: f(x) = x³ - 3x² + x - 1 + sin x.

Решение:

Чтобы найти первообразные функции \( F(x) \) для данной функции \( f(x) \), нужно проинтегрировать \( f(x) \) по \( x \).

Дана функция: \( f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1 + \sin x \)

Интегрируем каждый член функции:

1. Интеграл от \( x^3 \): \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = \frac{x^4}{4} + C_1 \)
2. Интеграл от \( -3x^2 \): \( \int -3x^2 dx = -3 \int x^2 dx = -3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = -3 \frac{x^3}{3} + C_2 = -x^3 + C_2 \)
3. Интеграл от \( x \): \( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_3 = \frac{x^2}{2} + C_3 \)
4. Интеграл от \( -1 \): \( \int -1 dx = -x + C_4 \)
5. Интеграл от \( \sin x \): \( \int \sin x dx = -\cos x + C_5 \)

Складываем все полученные интегралы и объединяем константы интегрирования \( C_1, C_2, C_3, C_4, C_5 \) в одну общую константу \( C \):

\[ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} - x - \cos x + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: Первообразная функция имеет вид \( F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} - x - \cos x + C \), где \( C \) — любая действительная константа.