32. Найдите все первообразные функции: f(x) = x⁴-4x³+x-2-cos x

Решение:

Чтобы найти первообразную функцию \( F(x) \) для заданной функции \( f(x) \), необходимо проинтегрировать \( f(x) \) по \( x \).

Дана функция: \( f(x) = x^4 - 4x^3 + x - 2 - \cos x \).

Первообразная \( F(x) \) находится как:

\[ F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ (x^4 - 4x^3 + x - 2 - \cos x) dx \]

Интегрируем по частям:

1. Интеграл от \( x^4 \): \( ∫ x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5} \)


2. Интеграл от \( -4x^3 \): \( ∫ -4x^3 dx = -4 ∫ x^3 dx = -4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -4 \cdot \frac{x^4}{4} = -x^4 \)


3. Интеграл от \( x \): \( ∫ x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)


4. Интеграл от \( -2 \): \( ∫ -2 dx = -2x \)


5. Интеграл от \( -\cos x \): \( ∫ -\cos x dx = -\sin x \)

Складываем все части и добавляем константу интегрирования \( C \):

\[ F(x) = \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{x^2}{2} - 2x - \sin x + C \]

Ответ: Первообразная функция имеет вид \( F(x) = \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{x^2}{2} - 2x - \sin x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.