32*. A…D₁ — прямой параллелепипед. AB = AD, AC = 8, BD = 6, BD₁ ⟂ B₁D. Найдите Sполн.

Дано: прямой параллелепипед; основание — ромб, так как \(AB=AD\); \(AC=8\), \(BD=6\), \(BD_1\perp B_1D\).

1. Найдём площадь основания. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам:

   \[S_{осн}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=24.\]

2. Найдём сторону ромба:

   \[AB=AD=\sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.\]

3. Обозначим высоту параллелепипеда через \(h\). Векторы диагоналей \(BD_1\) и \(B_1D\) имеют горизонтальную составляющую длиной \(BD=6\), а вертикальные составляющие равны \(h\) и \(-h\). Из условия перпендикулярности:

   \[6^2-h^2=0,\qquad h=6.\]

4. Площадь боковой поверхности:

   \[S_{бок}=P_{осн}\cdot h=4\cdot5\cdot6=120.\]

5. Полная площадь поверхности:

   \[S_{полн}=2S_{осн}+S_{бок}=2\cdot24+120=168.\]

Ответ: \(168\).