32. \( 2 \lg 6 - \lg x > 3 \lg 2 \)

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства, используем свойства логарифмов:

1. Запишем неравенство: \( \lg 6^2 - \lg x > \lg 2^3 \)
2. \( \lg 36 - \lg x > \lg 8 \)
3. \( \lg \frac{36}{x} > \lg 8 \)
4. Так как функция \( \lg x \) возрастающая, основание логарифма \( 10 > 1 \), снимаем логарифм: \( \frac{36}{x} > 8 \)
5. Решаем полученное неравенство. Учтём, что \( x > 0 \) (область определения логарифма): \( 36 > 8x \)
6. \( x < \frac{36}{8} \)
7. \( x < 4.5 \)
8. Объединяя условия \( x > 0 \) и \( x < 4.5 \), получаем интервал: \( 0 < x < 4.5 \)

Ответ: \( (0; 4.5) \).