32.12. Решите уравнение: a) x³ + 2x² + 3x + 6 = 0; б) x⁴ + x³ – 8x – 8 = 0; в) x³ + 3x² + 5x + 15 = 0; г) x² - 3x³ – x + 3 = 0.

Решение:

Решаем уравнения методом группировки.

а)

• \[ x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = 0 \] \( x^2(x+2) + 3(x+2) = 0 \) \( (x^2+3)(x+2) = 0 \) Из этого следует, что \( x+2 = 0 \), так как \( x^2+3 \) всегда больше нуля.
• Следовательно, \( x = -2 \).

б)

• \[ x^4 + x^3 - 8x - 8 = 0 \] \( x^3(x+1) - 8(x+1) = 0 \) \( (x^3-8)(x+1) = 0 \) Это дает два случая: \( x^3-8=0 \) или \( x+1=0 \).
• Из \( x^3-8=0 \) следует \( x^3=8 \), значит \( x=2 \).
• Из \( x+1=0 \) следует \( x=-1 \).
• Корни: \( x=2 \) и \( x=-1 \).

в)

• \[ x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0 \] \( x^2(x+3) + 5(x+3) = 0 \) \( (x^2+5)(x+3) = 0 \) Из этого следует, что \( x+3 = 0 \), так как \( x^2+5 \) всегда больше нуля.
• Следовательно, \( x = -3 \).

г)

• \[ -3x^3 + x^2 + 3x - 1 = 0 \] (Умножим на -1 для удобства) \[ 3x^3 - x^2 - 3x + 1 = 0 \] \( x^2(3x-1) - 1(3x-1) = 0 \) \( (x^2-1)(3x-1) = 0 \) Это дает два случая: \( x^2-1=0 \) или \( 3x-1=0 \).
• Из \( x^2-1=0 \) следует \( x^2=1 \), значит \( x=1 \) или \( x=-1 \).
• Из \( 3x-1=0 \) следует \( 3x=1 \), значит \( x = 1/3 \).
• Корни: \( x=1 \), \( x=-1 \) и \( x=1/3 \).

Ответ:

• а) \( x = -2 \)
• б) \( x = 2, x = -1 \)
• в) \( x = -3 \)
• г) \( x = 1, x = -1, x = 1/3 \)