*316. В цилиндрический сосуд налиты равные по массе количества воды и ртути. Общая высота столба жидкостей в сосуде h = 14,6 см. Определите гидростатическое давление на дно сосуда.

Решение:

Дано: \( m_{\text{воды}} = m_{\text{ртути}} = m \), \( h = 14,6 \text{ см} = 0,146 \text{ м} \), \( \rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3 \), \( \rho_{\text{ртути}} = 13600 \text{ кг/м}^3 \).

Найти: \( P \).

1. Выразим массы через плотности и объемы: \( m = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}} = \rho_{\text{ртути}} \cdot V_{\text{ртути}} \).
2. Выразим объемы через площади и высоты: \( V_{\text{воды}} = S \cdot h_{\text{воды}} \), \( V_{\text{ртути}} = S \cdot h_{\text{ртути}} \).
3. Тогда \( \rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot h_{\text{воды}} = \rho_{\text{ртути}} \cdot S \cdot h_{\text{ртути}} \) → \( \rho_{\text{воды}} \cdot h_{\text{воды}} = \rho_{\text{ртути}} \cdot h_{\text{ртути}} \).
4. Из условия задачи: \( h_{\text{воды}} + h_{\text{ртути}} = h = 0,146 \text{ м} \).
5. Выразим \( h_{\text{воды}} \) через \( h_{\text{ртути}} \): \( h_{\text{воды}} = h - h_{\text{ртути}} \).
6. Подставим в уравнение из пункта 3: \( \rho_{\text{воды}} \cdot (h - h_{\text{ртути}}) = \rho_{\text{ртути}} \cdot h_{\text{ртути}} \) → \( \rho_{\text{воды}} \cdot h - \rho_{\text{воды}} \cdot h_{\text{ртути}} = \rho_{\text{ртути}} \cdot h_{\text{ртути}} \) → \( \rho_{\text{воды}} \cdot h = (\rho_{\text{ртути}} + \rho_{\text{воды}}) \cdot h_{\text{ртути}} \).
7. Найдем высоту столба ртути: \( h_{\text{ртути}} = \frac{\rho_{\text{воды}} \cdot h}{\rho_{\text{ртути}} + \rho_{\text{воды}}} = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,146 \text{ м}}{13600 \text{ кг/м}^3 + 1000 \text{ кг/м}^3} = \frac{146}{14600} \text{ м} \approx 0,01 \text{ м} \).
8. Найдем высоту столба воды: \( h_{\text{воды}} = h - h_{\text{ртути}} = 0,146 \text{ м} - 0,01 \text{ м} = 0,136 \text{ м} \).
9. Давление на дно сосуда складывается из давления воды и ртути. Используем формулу \( P = P_{\text{воды}} + P_{\text{ртути}} \) или \( P = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h_{\text{воды}} + \rho_{\text{ртути}} \cdot g \cdot h_{\text{ртути}} \).
10. Примем \( g = 9,8 \text{ м/с}^2 \): \( P = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,136 \text{ м} + 13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,01 \text{ м} \) \( P = 1332,8 \text{ Па} + 1332,8 \text{ Па} \approx 2665,6 \text{ Па} \).

Ответ: гидростатическое давление на дно сосуда составляет приблизительно 2665,6 Па.