30) В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 300. Найдите объем параллелепипеда.

Решение:

Дано прямоугольный параллелепипед. Стороны основания \( a = 6 \) см, \( b = 8 \) см. Диагональ параллелепипеда \( d_{паралл} \) образует с плоскостью основания угол \( \alpha = 30^{\circ} \).

Объём прямоугольного параллелепипеда равен \( V = S_{осн} \cdot H = a \cdot b \cdot H \).

Нам нужно найти высоту \( H \) параллелепипеда.

Сначала найдём диагональ основания \( d_{осн} \). Так как основание — прямоугольник, по теореме Пифагора:

\( d_{осн}^2 = a^2 + b^2 \)

\( d_{осн}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)

\( d_{осн} = \sqrt{100} = 10 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда \( d_{паралл} \), диагональю основания \( d_{осн} \) и высотой параллелепипеда \( H \). В этом треугольнике угол между гипотенузой (диагональю параллелепипеда) и катетом (диагональю основания) равен \( \alpha = 30^{\circ} \).

Из определения тангенса имеем:

\( \tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{d_{осн}} \)

\( H = d_{осн} \tan \alpha = 10 \cdot \tan 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.

Теперь найдём объём параллелепипеда:

\( V = a \cdot b \cdot H = 6 \cdot 8 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} \)

\( V = 48 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = 16 \cdot 10\sqrt{3} = 160\sqrt{3} \) см³.

Ответ: \( 160\sqrt{3} \) см³.