30. Найдите значение выражения \(\left(\frac{3x^3}{a^4}\right)^4 \cdot \left(\frac{a^5}{3x^4}\right)^3\) при \(a = -\frac{1}{4}\) и \(b = -1,25\).

Задание 30

Дано:

• Выражение: \(\left(\frac{3x^3}{a^4}\right)^4 \cdot \left(\frac{a^5}{3x^4}\right)^3\)
• Значение \(a\): \(a = -\frac{1}{4}\)
• Значение \(b\): \(b = -1,25\)

Найти: значение выражения.

Решение:

1. Сначала раскроем степени в каждом множителе:
2. \(\left(\frac{3x^3}{a^4}\right)^4 = \frac{(3x^3)^4}{(a^4)^4} = \frac{3^4 (x^3)^4}{a^{4 \times 4}} = \frac{81x^{12}}{a^{16}}\).
3. \(\left(\frac{a^5}{3x^4}\right)^3 = \frac{(a^5)^3}{(3x^4)^3} = \frac{a^{5 \times 3}}{3^3 (x^4)^3} = \frac{a^{15}}{27x^{12}}\).
4. Теперь перемножим полученные выражения: \[ \frac{81x^{12}}{a^{16}} \cdot \frac{a^{15}}{27x^{12}} \]
5. Сократим одинаковые члены: \(x^{12}\) в числителе и знаменателе, \(a^{15}\) в числителе и \(a^{16}\) в знаменателе (останется \(a^1\) в знаменателе).
6. Сократим числовые коэффициенты: \(\frac{81}{27} = 3\).
7. После сокращения получаем: \[ \frac{3}{a} \]
8. Теперь подставим значение \(a = -\frac{1}{4}\) в упрощённое выражение: \[ \frac{3}{-\frac{1}{4}} \]
9. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \[ 3 \cdot \left(-\frac{4}{1}\right) = 3 \cdot (-4) = -12 \].

Примечание: Значение \(b = -1,25\) не используется в данном выражении, оно, вероятно, относится к другому заданию.

Ответ: -12.