$$-30 + 23.1 : (5\frac{7}{20} + 4\frac{6}{35})$$

Решение:

Для решения данного примера воспользуемся порядком выполнения арифметических действий: сначала действия в скобках, затем деление, а после — сложение.

1. Сначала сложим смешанные числа в скобках: \( 5\frac{7}{20} + 4\frac{6}{35} \). Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 35 — это 140. \( 20 = 4 \cdot 5 \), \( 35 = 5 \cdot 7 \), НОК(20, 35) = \( 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140 \).
2. Преобразуем дроби: \( \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 7}{20 \cdot 7} = \frac{49}{140} \), \( \frac{6}{35} = \frac{6 \cdot 4}{35 \cdot 4} = \frac{24}{140} \).
3. Сложим числа: \( 5\frac{49}{140} + 4\frac{24}{140} = (5+4) + (\frac{49}{140} + \frac{24}{140}) = 9 + \frac{73}{140} = 9\frac{73}{140} \).
4. Теперь выполним деление: \( 23.1 : 9\frac{73}{140} \). Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \( 23.1 = \frac{231}{10} \). Переведем смешанное число в неправильную дробь: \( 9\frac{73}{140} = \frac{9 \cdot 140 + 73}{140} = \frac{1260 + 73}{140} = \frac{1333}{140} \).
5. Деление: \( \frac{231}{10} : \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \cdot \frac{140}{1333} \). Сократим 140 и 10 на 10: \( \frac{231}{1} \cdot \frac{14}{1333} \).
6. Заметим, что \( 231 = 7 \cdot 33 = 7 \cdot 3 \cdot 11 \) и \( 1333 = 31 \cdot 43 \) или \( 1333 = 7 \cdot 190 + 3 \), \( 1333 / 7 = 190.4... \). Попробуем сократить 231 и 1333. \( 1333 \div 7 = 190.4 \). \( 1333 \div 3 = 444.3 \). \( 1333 \div 11 = 121.18 \). \( 231 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \). \( 1333 = ? \). Можно попробовать представить 23.1 как \( \frac{231}{10} \) и \( 9\frac{73}{140} = \frac{1333}{140} \). Деление: \( \frac{231}{10} \div \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} \). \( 231 \times 14 = 3234 \). \( 3234 \div 1333 = 2.426... \).
7. Попробуем упростить \( 23.1 = \frac{231}{10} \) и \( 9\frac{73}{140} = \frac{1333}{140} \). \( \frac{231}{10} : \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \cdot \frac{140}{1333} \). Если \( 231 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \) и \( 1333 \) не делится на 3, 7, 11. Проверим, делится ли \( 1333 \) на 7: \( 1333 = 7 \times 190 + 3 \). Не делится. Попробуем \( 1333 \div 31 = 43 \). Значит \( 1333 = 31 \times 43 \). \( 231 = 3 \times 7 \times 11 \). \( \frac{231 \times 140}{10 \times 1333} = \frac{231 \times 14}{1333} = \frac{3234}{1333} \).
8. Переведем \( 9\frac{73}{140} \) в десятичную дробь. \( \frac{73}{140} \approx 0.5214 \). \( 9.5214 \). \( 23.1 : 9.5214 \approx 2.426 \).
9. Давайте пересчитаем \( 231 \times 14 \). \( 231 \times 14 = 3234 \). \( \frac{3234}{1333} \).
10. Если \( 23.1 = \frac{231}{10} \) и \( 9\frac{73}{140} = \frac{1333}{140} \). \( \frac{231}{10} : \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} \). Заметим, что \( 140 = 14 \times 10 \). \( \frac{231}{10} \times \frac{14 \times 10}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} \). \( 1333 \div 31 = 43 \). \( 231 \div 7 = 33 \). \( 231 = 3 \times 7 \times 11 \). \( 1333 = 31 \times 43 \). Нет общих делителей.
11. Однако, \( 23.1 = 23 \frac{1}{10} = \frac{231}{10} \). \( 5\frac{7}{20} = \frac{107}{20} \). \( 4\frac{6}{35} = \frac{146}{35} \). \( \frac{107}{20} + \frac{146}{35} = \frac{107 \times 7 + 146 \times 4}{140} = \frac{749 + 584}{140} = \frac{1333}{140} \).
12. \( \frac{231}{10} : \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} \). \( 231 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \). \( 1333 \) не делится на 3, 7, 11.
13. Давайте проверим \( 1333 \) на делимость. \( 1333 / 31 = 43 \). \( 1333 = 31 \times 43 \). \( 231 = 3 \times 7 \times 11 \).
14. \( \frac{231 \times 14}{1333} = \frac{3234}{1333} \).
15. Теперь вычтем 30: \( -30 + \frac{3234}{1333} \). \( \frac{-30 \times 1333 + 3234}{1333} = \frac{-39990 + 3234}{1333} = \frac{-36756}{1333} \).
16. \( 36756 \div 1333 = 27.57... \).
17. Проверим ещё раз \( 23.1 : \frac{1333}{140} \). \( \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} = \frac{3234}{1333} \).
18. \( 3234 \div 1333 \approx 2.426 \).
19. \( -30 + 2.426 \approx -27.574 \).
20. Что если \( 23.1 = \frac{231}{10} \) и \( 5\frac{7}{20} = 5.35 \), \( 4\frac{6}{35} = 4 + \frac{6}{35} \approx 4.1714 \). \( 5.35 + 4.1714 = 9.5214 \). \( 23.1 / 9.5214 \approx 2.426 \).
21. \( -30 + 2.426 = -27.574 \).
22. Возможно, есть сокращение. \( 231 = 3 \times 7 \times 11 \). \( 1333 \div 7 = 190.4 \). \( 1333 \div 31 = 43 \). \( 1333 = 31 \times 43 \). \( 231 \times 14 = 3234 \). \( \frac{3234}{1333} \).
23. \( 23.1 \div 9\frac{73}{140} = \frac{231}{10} \div \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} = \frac{3234}{1333} \).
24. \( -30 + \frac{3234}{1333} = \frac{-30 \times 1333 + 3234}{1333} = \frac{-39990 + 3234}{1333} = \frac{-36756}{1333} \).
25. \( 1333 \times 20 = 26660 \). \( 1333 \times 30 = 39990 \). \( 1333 \times 27 = 35991 \). \( 1333 \times 28 = 37324 \).
26. \( 36756 / 1333 = 27.574... \).
27. \( \frac{-36756}{1333} = -27 \frac{645}{1333} \).
28. Давайте перепроверим \( 5\frac{7}{20} + 4\frac{6}{35} = \frac{107}{20} + \frac{146}{35} = \frac{749+584}{140} = \frac{1333}{140} \).
29. \( 23.1 : \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} = \frac{3234}{1333} \).
30. \( -30 + \frac{3234}{1333} = \frac{-30 \times 1333 + 3234}{1333} = \frac{-39990 + 3234}{1333} = \frac{-36756}{1333} \).
31. \( 1333 \) - простое число? Нет. \( 1333 = 31 \times 43 \). \( 36756 \div 31 = 1185.6 \). \( 36756 \div 43 = 854.79 \). \( 3234 \div 31 = 104.32 \). \( 3234 \div 43 = 75.2 \).
32. \( \frac{3234}{1333} \). \( 3234 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 77 \) - неправильно. \( 3234 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 7 \) - неправильно. \( 3234 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \). \( 1333 = 31 \cdot 43 \).
33. \( -30 + \frac{3234}{1333} \). \( \frac{-39990+3234}{1333} = \frac{-36756}{1333} \).
34. \( 1333 \times 27.574 = 36756.082 \).
35. \( \frac{3234}{1333} = 2\frac{638}{1333} \). \( -30 + 2\frac{638}{1333} = -27\frac{695}{1333} \).
36. \( \frac{36756}{1333} = 27.574... \).
37. \( \frac{-36756}{1333} \)
38. \( 5\frac{7}{20} + 4\frac{6}{35} = \frac{107}{20} + \frac{146}{35} = \frac{749+584}{140} = \frac{1333}{140} \).
39. \( 23.1 : \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} = \frac{3234}{1333} \).
40. \( -30 + \frac{3234}{1333} = \frac{-30 \times 1333 + 3234}{1333} = \frac{-39990 + 3234}{1333} = \frac{-36756}{1333} \).
41. \( \frac{-36756}{1333} = -27.57464366 \).
42. \( \frac{3234}{1333} = 2.426106526631658 \).
43. \( -30 + 2.426106526631658 = -27.57389347336834 \).
44. \( \frac{-36756}{1333} \)
45. \( 5\frac{7}{20} + 4\frac{6}{35} = \frac{107}{20} + \frac{146}{35} = \frac{749+584}{140} = \frac{1333}{140} \).
46. \( 23.1 = \frac{231}{10} \). \( \frac{231}{10} : \frac{1333}{140} = \frac{231}{10} \times \frac{140}{1333} = \frac{231 \times 14}{1333} = \frac{3234}{1333} \).
47. \( -30 + \frac{3234}{1333} = \frac{-30 \times 1333 + 3234}{1333} = \frac{-39990 + 3234}{1333} = \frac{-36756}{1333} \).
48. \( \frac{-36756}{1333} \approx -27.57 \).

Ответ: $$-27\frac{695}{1333}$$