3. Запишите в тригонометрической форме комплексное число z = 3+3i

Решение:

Для записи комплексного числа \( z = x + yi \) в тригонометрической форме \( z = r(\cos \phi + i \sin \phi) \) необходимо найти его модуль \( r \) и аргумент \( \phi \).

Дано комплексное число \( z = 3 + 3i \). Здесь \( x = 3 \) и \( y = 3 \).

1. Найдём модуль \( r \):
   \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)
   \( r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)
   \( r = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
2. Найдём аргумент \( \phi \):
   Для нахождения аргумента используем формулы:
   \( \cos \phi = \frac{x}{r} \) и \( \sin \phi = \frac{y}{r} \)
   \( \cos \phi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   \( \sin \phi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

   Так как \( x > 0 \) и \( y > 0 \), угол \( \phi \) лежит в первой четверти. Значение \( \phi \), при котором \( \cos \phi = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin \phi = \frac{\sqrt{2}}{2} \), равно \( \frac{\pi}{4} \) (или 45°).

3. Запишем в тригонометрической форме:
   \( z = r(\cos \phi + i \sin \phi) \)
   \( z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \)

Ответ: \( z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \).