3. Задача. Построить эпюры Q и М

Решение:

Задана балка, закрепленная слева. Нагрузка:

• Сила \( F_1 = 20 \text{ кН} \) направлена вниз в точке, отстоящей на \( 1 \text{ м} \) от заделки.
• Сила \( F_2 = 10 \text{ кН} \) направлена вверх в точке, отстоящей на \( 2 \text{ м} \) от заделки (на конце балки).
• Длина балки \( L = 2 \text{ м} \).

1. Определение опорных реакций:

Так как балка заделана, в точке опоры (заделки) возникают:

• Вертикальная сила \( R_y \)
• Горизонтальная сила \( R_x \) (равна нулю, так как нет горизонтальных нагрузок)
• Изгибающий момент \( M_0 \)

Уравнения равновесия:

• \( Σ F_y = 0 \): \( R_y - F_1 + F_2 = 0 \) \( R_y - 20 + 10 = 0 \) \( R_y = 10 \text{ кН} \) (направлена вверх).
• \( Σ M = 0 \) (суммируем моменты относительно точки заделки): \( M_0 - F_1 · 1 + F_2 · 2 = 0 \) \( M_0 - 20 · 1 + 10 · 2 = 0 \) \( M_0 - 20 + 20 = 0 \) \( M_0 = 0 \text{ кН} · \text{м} \)

2. Построение эпюры поперечных сил (Q)

Рассмотрим три участка:

Участок I (0 < x < 1 м):

• \( Q(x) = R_y = 10 \text{ кН} \) (постоянная).

Участок II (1 м < x < 2 м):

• \( Q(x) = R_y - F_1 = 10 - 20 = -10 \text{ кН} \) (постоянная).

3. Построение эпюры изгибающих моментов (М)

Участок I (0 < x < 1 м):

• \( M(x) = M_0 - R_y · x = 0 - 10 · x = -10x \)
• При \( x = 0 \): \( M(0) = 0 \)
• При \( x = 1 \): \( M(1) = -10 · 1 = -10 \text{ кН} · \text{м} \)

Участок II (1 м < x < 2 м):

• \( M(x) = M_0 - R_y · x + F_1 · (x - 1) = 0 - 10 · x + 20 · (x - 1) \)
• \( M(x) = -10x + 20x - 20 = 10x - 20 \)
• При \( x = 1 \): \( M(1) = 10 · 1 - 20 = -10 \text{ кН} · \text{м} \)
• При \( x = 2 \): \( M(2) = 10 · 2 - 20 = 20 - 20 = 0 \text{ кН} · \text{м} \)

Графики:

Эпюра Q:

• На участке от 0 до 1 м: постоянная \( +10 \text{ кН} \).
• На участке от 1 до 2 м: постоянная \( -10 \text{ кН} \).
• Резкий переход в точке \( x=1 \) на \( 20 \text{ кН} \) (\( 10 - (-10) = 20 \)).

Эпюра М:

• На участке от 0 до 1 м: линейно убывает от 0 до \( -10 \text{ кН} · \text{м} \).
• На участке от 1 до 2 м: линейно возрастает от \( -10 \text{ кН} · \text{м} \) до 0.

Итог:

Максимальное поперечное усилие \( Q_{max} = 10 \text{ кН} \).

Максимальный изгибающий момент \( |M_{max}| = 10 \text{ кН} · \text{м} \).

Ответ: Построены эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.