3. Задача. Определить удлинение стального бруса, если его длина 1м. Принять E=2·10^5 Н/мм^2. Построить эпюру изгибающих моментов и выполнить расчет бруса на прочность, при условии, что предельно допустимое нормальное напряжение при изгибе: [σ] ≤ 100 МПа. Вес бруса не учитывать.

Question

Вопрос:

3. Задача. Определить удлинение стального бруса, если его длина 1м. Принять E=2·10^5 Н/мм^2. Построить эпюру изгибающих моментов и выполнить расчет бруса на прочность, при условии, что предельно допустимое нормальное напряжение при изгибе: [σ] ≤ 100 МПа. Вес бруса не учитывать.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

1. Расчет на прочность.

Построим эпюру изгибающих моментов.

В данном случае имеем консольный брус с изгибающим моментом $ Mu = 25 $ Нм в начале и поперечной силой $ F = 250 $ Н в конце. Длина бруса $ L = 12 $ м. Диаметр бруса $ \phi = 8 $ см.

Максимальный изгибающий момент возникает в месте заделки и равен $ M_{max} = Mu + F \cdot L = 25 + 250 \cdot 12 = 25 + 3000 = 3025 $ Нм.

Переведем $ M_{max} $ в Нмм: $ M_{max} = 3025 \cdot 1000 = 3025000 $ Нмм.

Площадь поперечного сечения бруса (круга): $ A = \frac{\pi \phi^2}{4} = \frac{\pi \cdot 8^2}{4} = 16\pi $ см$$^2$$.

Момент сопротивления для круглого сечения: $ W = \frac{\pi \phi^3}{32} = \frac{\pi \cdot 8^3}{32} = 16\pi $ см$$^3$$.

Нормальное напряжение при изгибе: $ \sigma = \frac{M_{max}}{W} = \frac{3025000 \text{ Нмм}}{16\pi \text{ см}^3} = \frac{3025000 \text{ Нмм}}{16000 \text{ мм}^3} \approx 59.7 $ МПа.

Так как $ \sigma \approx 59.7 $ МПа $ \le 100 $ МПа, условие прочности выполняется.

2. Расчет удлинения.

Удлинение бруса при изгибе определяется по формуле:

$ \Delta L = \frac{M_{max} \cdot L}{E \cdot I} $

где $ I $ — осевой момент инерции круглого сечения: $ I = \frac{\pi \phi^4}{64} = \frac{\pi \cdot 8^4}{64} = 128\pi $ см$$^4$$.

Модуль упругости $ E = 2 \cdot 10^5 $ Н/мм$$^2$$.

Переведем $ E $ в Н/см$$^2$$: $ E = 2 \cdot 10^5 \frac{\text{Н}}{\text{мм}^2} \cdot \frac{(10 \text{ мм})^2}{(1 \text{ см})^2} = 2 \cdot 10^5 \cdot 100 = 2 \cdot 10^7 $ Н/см$$^2$$.

Длина бруса $ L = 1 $ м = 100 см.

$ \Delta L = \frac{(3025 \text{ Нм}) \cdot (100 \text{ см})}{ (2 \cdot 10^7 \text{ Н/см}^2) \cdot (128\pi \text{ см}^4) } $

Переведем $ M_{max} $ в Нсм: $ M_{max} = 3025 \text{ Нм} = 302500 $ Нсм.

$ \Delta L = \frac{302500 \text{ Нсм} \cdot 100 \text{ см}}{ 2 \cdot 10^7 \text{ Н/см}^2 \cdot 128\pi \text{ см}^4 } = \frac{30250000}{2560000 \pi} \approx 37.3 $ см.

Эпюра изгибающих моментов:

Эпюра будет представлять собой наклонную линию, убывающую от $ M_{max} = 3025 $ Нм в месте заделки до $ Mu = 25 $ Нм на свободном конце.

Ответ: Предельно допустимое напряжение не превышено. Удлинение бруса при изгибе составляет примерно 37.3 см.