3. Задача. Определить реакции балки.

Решение:

Для определения реакций балки, необходимо рассмотреть равновесие всей балки. Балка имеет два опорных участка: слева — шарнирно-неподвижная опора (дает две реакции: вертикальную и горизонтальную), справа — шарнирно-подвижная опора (дает одну вертикальную реакцию). На балку действуют: вертикальная сила 80 кН, направленная вниз, и сосредоточенный момент 40 кН·м, вращающий по часовой стрелке.

Введем оси координат: X — горизонтальная, Y — вертикальная, начало координат — в точке приложения шарнирно-неподвижной опоры.

1. Реакции опор:

• Слева: \( R_{A_x} \) (горизонтальная), \( R_{A_y} \) (вертикальная).
• Справа: \( R_B \) (вертикальная).

2. Уравнения равновесия:

• Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю: \( ΣF_x = 0 \).
• Сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю: \( ΣF_y = 0 \).
• Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю: \( ΣM = 0 \).

3. Применим уравнения равновесия:

а) Сумма проекций на ось X:

\( R_{A_x} = 0 \) (так как нет других горизонтальных сил).

б) Сумма моментов относительно точки A (левой опоры):

\( ΣM_A = 0 \). Момент от силы 80 кН = \( 80 \text{ кН} \times 3 \text{ м} \). Момент от сосредоточенной силы = \( 40 \text{ кН·м} \). Момент от реакции \( R_B \) = \( R_B \times (3 \text{ м} + 5 \text{ м}) \).

Принимаем вращение против часовой стрелки положительным.

\[ -40 \text{ кН·м} - 80 \text{ кН} \times 3 \text{ м} + R_B \times 8 \text{ м} = 0 \]

\[ -40 - 240 + 8 R_B = 0 \]

\[ -280 + 8 R_B = 0 \]

\[ 8 R_B = 280 \text{ кН·м} \]

\[ R_B = \frac{280}{8} = 35 \text{ кН} \]

в) Сумма проекций на ось Y:

\( ΣF_y = 0 \).

\( R_{A_y} - 80 \text{ кН} + R_B = 0 \)

\( R_{A_y} - 80 \text{ кН} + 35 \text{ кН} = 0 \)

\( R_{A_y} - 45 \text{ кН} = 0 \)

\[ R_{A_y} = 45 \text{ кН} \]

Итого:

• Горизонтальная реакция \( R_{A_x} = 0 \).
• Вертикальная реакция \( R_{A_y} = 45 \text{ кН} \), направлена вверх.
• Вертикальная реакция \( R_B = 35 \text{ кН} \), направлена вверх.

Ответ: Реакции балки: \( R_{A_x} = 0 \), \( R_{A_y} = 45 \text{ кН} \) (вверх), \( R_B = 35 \text{ кН} \) (вверх).