3. Вычислите \( \frac{106^2 - 121}{122^2 - 64} \).

Решение:

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) для числителя и знаменателя.

Числитель:

\( 106^2 - 121 = 106^2 - 11^2 \)

\( = (106 - 11)(106 + 11) \)

\( = (95)(117) \)

Знаменатель:

\( 122^2 - 64 = 122^2 - 8^2 \)

\( = (122 - 8)(122 + 8) \)

\( = (114)(130) \)

Теперь подставим полученные значения обратно в дробь:

\( \frac{(95)(117)}{(114)(130)} \)

Сократим дробь:

\( 95 = 5 \times 19 \)

\( 117 = 9 \times 13 \)

\( 114 = 6 \times 19 \)

\( 130 = 10 \times 13 \)

\( \frac{(5 \times 19)(9 \times 13)}{(6 \times 19)(10 \times 13)} \)

Сокращаем 19 и 13:

\( \frac{(5)(9)}{(6)(10)} = \frac{45}{60} \)

Сокращаем дробь \( \frac{45}{60} \) на 15:

\( \frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4} \)

Ответ: \( \frac{3}{4} \).