3. Вычислите f'(π/3), если f(x)=2sinx+3x²-2πx+3.

Задание 3: Вычисление значения производной

Дано:

• Функция: \( f(x) = 2\sin x + 3x^2 - 2\pi x + 3 \)
• Точка: \( x = \frac{\pi}{3} \)

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) \):

   \( f'(x) = (2\sin x)' + (3x^2)' - (2\pi x)' + (3)' \)

   \( f'(x) = 2\cos x + 6x - 2\pi + 0 \)

   \( f'(x) = 2\cos x + 6x - 2\pi \)

2. Подставим \( x = \frac{\pi}{3} \) в производную:

   \( f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 6\left(\frac{\pi}{3}\right) - 2\pi \)

   Знаем, что \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) и \( 6\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\pi \).

   \( f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\cdot\frac{1}{2} + 2\pi - 2\pi \)

   \( f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 + 2\pi - 2\pi \)

   \( f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 \)

Ответ: \( f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 \)