3. Вычислить определенный интеграл: \( \int_{0}^{2} (3x^3 + 2x - 1)dx \)

Решение:

Чтобы вычислить определенный интеграл, найдем первообразную для функции \( f(x) = 3x^3 + 2x - 1 \) и вычислим ее значение на границах интегрирования.

Первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = \int (3x^3 + 2x - 1)dx = 3 \frac{x^4}{4} + 2 \frac{x^2}{2} - x = \frac{3}{4}x^4 + x^2 - x \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \):

\[ \int_{0}^{2} (3x^3 + 2x - 1)dx = F(2) - F(0) \]

Вычислим \( F(2) \):

\[ F(2) = \frac{3}{4}(2)^4 + (2)^2 - 2 = \frac{3}{4}(16) + 4 - 2 = 3 \cdot 4 + 4 - 2 = 12 + 4 - 2 = 14 \]

Вычислим \( F(0) \):

\[ F(0) = \frac{3}{4}(0)^4 + (0)^2 - 0 = 0 \]

Найдем значение интеграла:

\[ 14 - 0 = 14 \]

Ответ: 14