3. В треугольнике MNK известно, что ∠N = 50°. Биссектриса угла № пересекает сторону МК в точке F, ∠MFN = 74°. Найдите угол MKN.

Решение:

В треугольнике \( \triangle MFN \) нам известны:

• \( \angle N = 50^{\circ} \) (это угол \( \angle MNK \) всего треугольника \( MNK \)).
• \( \angle MFN = 74^{\circ} \).

Найдём \( \angle FMN \) (или \( \angle KMN \)) в треугольнике \( \triangle MFN \):

\[ \angle FMN = 180^{\circ} - \angle N - \angle MFN \]

Важно: Угол \( \angle N \) в условии задачи обозначен как \( \angle N \) = 50°, но в тексте задачи сказано «Биссектриса угла № пересекает сторону МК в точке F». Вероятно, имеется в виду биссектриса угла \( \angle MNK \), то есть \( \angle N \) = 50° относится к углу \( \angle MNK \).

Если \( \angle N = 50^{\circ} \) — это весь угол \( \angle MNK \), а \( NF \) — биссектриса, то \( \angle NFM \) не может быть 74°, потому что \( \angle MNK = 50^{\circ} \).

Предположим, что:

1. \( \angle MNK = 50^{\circ} \).

2. \( NF \) — биссектриса угла \( \angle MNK \). Это означает, что \( \angle MNF = \angle KNF = \frac{1}{2} \angle MNK = \frac{1}{2} \times 50^{\circ} = 25^{\circ} \).

3. \( \angle MFN = 74^{\circ} \) — это внешний угол к треугольнику \( \triangle KNF \) при вершине F, или угол смежный с \( \angle KFN \).

Вариант 1: \( \angle MFN = 74^{\circ} \) — это угол в \( \triangle MFN \).

Тогда в \( \triangle MFN \):

\[ \angle FMN = 180^{\circ} - \angle N - \angle MFN = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 74^{\circ} = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \]

Так как \( \angle FMN \) — это \( \angle KMN \) (то есть \( \angle MKN \) — это угол \( \angle M \)), то \( \angle MKN = 56^{\circ} \).

Вариант 2: \( \angle MFN = 74^{\circ} \) — это угол, смежный с \( \angle KFN \).

Тогда \( \angle KFN = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \).

В \( \triangle KNF \) мы знаем:

• \( \angle KNF = 25^{\circ} \) (так как \( NF \) — биссектриса \( \angle MNK \) и \( \angle MNK = 50^{\circ} \)).
• \( \angle KFN = 106^{\circ} \).

Найдём \( \angle FKN \) (то есть \( \angle MKN \)) в \( \triangle KNF \):

\[ \angle FKN = 180^{\circ} - \angle KNF - \angle KFN = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 106^{\circ} = 180^{\circ} - 131^{\circ} = 49^{\circ} \]

Проверим, если \( \angle MFN = 74^{\circ} \) - это внешний угол при вершине F для \( \triangle KNF \).

Тогда \( \angle KFN = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \).

В \( \triangle KNF \): \( \angle KNF = 50^{\circ} / 2 = 25^{\circ} \). \( \angle FKN = 180^{\circ} - 106^{\circ} - 25^{\circ} = 49^{\circ} \).

Если \( \angle MFN = 74^{\circ} \) — это внешний угол при вершине F для \( \triangle MNF \).

Тогда \( \angle MNF = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \), что невозможно, так как \( \angle MNK = 50^{\circ} \).

Исходя из типичной постановки задач, угол \( \angle MFN = 74^{\circ} \) скорее всего является углом в треугольнике \( \triangle MFN \) или смежным с углом \( \angle KFN \).

Наиболее вероятный вариант: \( \angle MFN = 74^{\circ} \) — это угол, смежный с \( \angle KFN \).

Тогда \( \angle KFN = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \).

В \( \triangle KNF \):

• \( \angle KNF = 50^{\circ} / 2 = 25^{\circ} \).
• \( \angle KFN = 106^{\circ} \).

\[ \angle FKN = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 106^{\circ}) = 180^{\circ} - 131^{\circ} = 49^{\circ} \]

Ответ: \( \angle MKN = 49^{\circ} \).