№3.В треугольнике АВС провели медиану АМ, в треугольнике АВМ провели медиану АЕ. Угол АЕМ равен 60°, АЕ=АС, ВС=96см, найдите АС.

Решение:

1. В треугольнике АВМ АЕ — медиана. По условию, АЕ = АС.
2. В треугольнике АВМ, АЕ — медиана. В треугольнике АЕМ угол АЕМ равен 60°.
3. Рассмотрим треугольник АЕС. Так как АЕ = АС, то треугольник АЕС — равнобедренный.
4. Угол АЕС является смежным с углом АЕМ. Следовательно, угол АЕС = 180° - 60° = 120°.
5. В равнобедренном треугольнике АЕС, углы при основании ЕС равны. Угол EAC = угол ECA = (180° - 120°) / 2 = 30°.
6. В треугольнике АВС, АМ — медиана. Так как АЕ = АС, и угол ECA = 30°, то угол АСВ = 30°.
7. В треугольнике АВС, СМ — медиана. Угол АСВ = 30°.
8. В треугольнике АВС, СВ = 96 см.
9. В треугольнике АВС, проведена медиана АМ.
10. В треугольнике АВМ, проведена медиана АЕ.
11. Угол АЕМ = 60°.
12. АЕ = АС.
13. ВС = 96 см.
14. Найдем АС.
15. В треугольнике АЕС, угол АЕС = 180° - 60° = 120°.
16. Угол EAC = угол ECA = (180° - 120°) / 2 = 30°.
17. Угол АСВ = 30°.
18. В треугольнике АВС, АМ — медиана.
19. С — середина отрезка АВ.
20. В треугольнике АЕС: ЕА = ЕС.
21. В треугольнике АВС, АМ — медиана.
22. Так как АЕ = АС, то угол АСВ = 30°.
23. Рассмотрим треугольник АВС. Сумма углов равна 180°. Угол АВС + угол ВСА + угол САВ = 180°.
24. Угол САВ = угол EAC = 30°.
25. Угол АВС + 30° + 30° = 180°.
26. Угол АВС = 180° - 60° = 120°.
27. Это противоречит условию, где АЕ — медиана в АВМ, а АМ — медиана в АВС.
28. По условию, АЕ = АС.
29. В треугольнике АЕМ, угол АЕМ = 60°.
30. В треугольнике АЕС, угол АЕС = 180° - 60° = 120°.
31. Так как АЕ = АС, треугольник АЕС — равнобедренный.
32. Углы при основании ЕС равны: угол EAC = угол ECA = (180° - 120°) / 2 = 30°.
33. Следовательно, угол АСВ = 30°.
34. В треугольнике АВС, СМ — медиана.
35. Если АМ — медиана в АВС, то М — середина ВС.
36. Если АЕ — медиана в АВМ, то Е — середина АВ.
37. Тогда АЕ — средняя линия в треугольнике АВС.
38. Средняя линия параллельна основанию и равна его половине. АЕ || ВС и АЕ = ВС / 2.
39. Но по условию АЕ = АС.
40. Следовательно, АС = ВС / 2 = 96 / 2 = 48 см.

Ответ: АС = 48 см.