3. В треугольнике АВС проведены медианы AD и ВЕ, которые пересекаются в точке М. Известно, что длина медианы AD=12 см. Найдите длину отрезка AM. Ответ:

Решение:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка M является точкой пересечения медиан AD и BE.

Медиана AD делится точкой M в отношении 2:1, то есть:

\( AM : MD = 2 : 1 \)

Длина медианы AD составляет 12 см. Мы можем представить длину AD как сумму отрезков AM и MD:

\( AD = AM + MD \)

Так как \( AM = 2 \cdot MD \), то:

\( AD = 2 \cdot MD + MD = 3 \cdot MD \)

Из этого следует, что \( MD = \frac{AD}{3} \).

Подставим значение AD:

\( MD = \frac{12}{3} = 4 \) см.

Теперь найдём длину отрезка AM:

\( AM = 2 \cdot MD = 2 \cdot 4 = 8 \) см.

Или, используя общее свойство:

\( AM = \frac{2}{3} AD \)

\( AM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 2 \cdot 4 = 8 \) см.

Ответ: 8 см