3. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Задание: Геометрия

Дано:

• Треугольник АВС.
• Медиана ВМ.
• Высота ВН.
• \( AC = 84 \).
• \( BC = BM \).

Найти: \( AH \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ВСМ. Так как \( BC = BM \), то треугольник ВСМ равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть \( ∠ BCM = ∠ BMC = α \).
3. Рассмотрим треугольник АВС. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
4. \( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ BCM = 180^\circ \).
5. \( ∠ ABC = 180^\circ - ∠ ABH - ∠ HBC \).
6. В прямоугольном треугольнике ВНС, \( ∠ BHC = 90^\circ \).
7. \( ∠ HBC = 90^\circ - ∠ BCM = 90^\circ - α \).
8. \( ∠ ABC = 180^\circ - ∠ ABH - (90^\circ - α) \).
9. Рассмотрим треугольник ВНА. \( ∠ BHA = 90^\circ \).
10. \( ∠ BAH = 90^\circ - ∠ ABH \).
11. Вернемся к равнобедренному треугольнику ВСМ. Так как \( BM \) - медиана, то \( MC = AM = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42 \).
12. В равнобедренном треугольнике ВСМ, \( ∠ BCM = ∠ BMC = α \).
13. Угол \( BMC \) является внешним углом треугольника АВМ.
14. \( ∠ BMC = ∠ BAM + ∠ ABM \).
15. \( α = ∠ BAC + ∠ ABM \).
16. Рассмотрим треугольник АВН. \( ∠ BAH = 90^\circ - ∠ ABH \).
17. В прямоугольном треугольнике ВНС, \( ∠ HBC = 90^\circ - ∠ BCM = 90^\circ - α \).
18. \( ∠ ABC = ∠ ABH + ∠ HBC = ∠ ABH + 90^\circ - α \).
19. В равнобедренном треугольнике ВСМ, \( BM=BC \). В треугольнике BHC, \( ∠ BHC=90^\circ \).
20. Рассмотрим медиану \( BM \) в треугольнике АВС. По теореме о медиане: \( AB^2 + BC^2 = 2(BM^2 + AM^2) \).
21. Так как \( BC = BM \), подставим: \( AB^2 + BC^2 = 2(BC^2 + AM^2) \).
22. \( AB^2 + BC^2 = 2BC^2 + 2AM^2 \).
23. \( AB^2 = BC^2 + 2AM^2 \).
24. В прямоугольном треугольнике АВН: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
25. В прямоугольном треугольнике ВНС: \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
26. \( AH = AC - HC = 84 - HC \).
27. Из \( AB^2 = BC^2 + 2AM^2 \), имеем \( AH^2 + BH^2 = (BH^2 + HC^2) + 2AM^2 \).
28. \( AH^2 = HC^2 + 2AM^2 \).
29. Подставим \( AM = 42 \): \( AH^2 = HC^2 + 2(42^2) = HC^2 + 2(1764) = HC^2 + 3528 \).
30. Также \( HC = AC - AH = 84 - AH \).
31. \( AH^2 = (84 - AH)^2 + 3528 \).
32. \( AH^2 = 84^2 - 2 · 84 · AH + AH^2 + 3528 \).
33. \( AH^2 = 7056 - 168 AH + AH^2 + 3528 \).
34. \( 0 = 7056 - 168 AH + 3528 \).
35. \( 168 AH = 7056 + 3528 \).
36. \( 168 AH = 10584 \).
37. \( AH = \frac{10584}{168} \).
38. \( AH = 63 \).

Ответ: AH = 63.