3. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК и высота ВМ, ∠ABC = 80°, ∠BCA = 60°. Найди ∠KBM между биссектрисой и высотой.

Решение:

В треугольнике ABC:

1. Найдем угол \( \angle BAC \): \( \angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle BCA = 180° - 80° - 60° = 40° \).
2. Так как BK — биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle ABK = \angle KBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{80°}{2} = 40° \).
3. В прямоугольном треугольнике ABM (так как BM — высота, \( \angle AMB = 90° \)): \( \angle ABM = 90° - \angle BAC = 90° - 40° = 50° \).
4. Найдем угол \( \angle KBM \): \( \angle KBM = \angle ABM - \angle ABK = 50° - 40° = 10° \).

Ответ: \( \angle KBM = 10° \).