3. В треугольнике ABC угол B прямой, BD — высота. а) Докажите, что ∠A = ∠DBC. б) Докажите, что если ∠A < ∠C, то AD > DC.

а) Так как \(BD\) — высота, то \(BD\perp AC\), поэтому \(\angle ADB=90^\circ\). В исходном треугольнике \(ABC\) угол \(B\) также равен \(90^\circ\). Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(ABC\) имеют общий угол \(A\) и по прямому углу, поэтому они подобны. Из соответствия углов получаем \(\angle ABD=\angle C\).

Рассмотрим треугольник \(CBD\). В нём \(\angle C\) совпадает с углом \(C\) исходного треугольника, а \(\angle CDB=90^\circ\). Поэтому \(\angle DBC=90^\circ-\angle C=\angle A\), так как в треугольнике \(ABC\) \(\angle A+\angle C=90^\circ\).

б) Из пункта а) следует, что \(\angle A=\angle DBC\). В прямоугольных треугольниках \(ABD\) и \(CBD\) имеем формулы проекций катетов на гипотенузу: \(AD=AB\cos\angle A\), а \(DC=BC\cos\angle C\). Если \(\angle A<\angle C\), то в прямоугольном треугольнике \(ABC\) стороне, противолежащей большему углу, соответствует большая длина, поэтому \(BC>AB\). Кроме того, \(\cos\angle A>\cos\angle C\), поскольку оба угла острые. Следовательно, \(AD=AB\cos\angle A\) и \(DC=BC\cos\angle C\); эквивалентнее, из теоремы о проекциях: \(AD=\dfrac{AB^2}{AC}\), \(DC=\dfrac{BC^2}{AC}\). Так как \(\angle A<\angle C\), то \(BC>AB\), значит \(DC>AD\). Поэтому утверждение в условии с такой записью неверно: должно быть \(AD

Ответ: а) \(\angle A=\angle DBC\); б) при условии \(\angle A<\angle C\) получается \(ADDC\) является ошибочным.