3. В треугольнике ABC AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC — точки P и K соответственно (точки P, M и K не лежат на одной прямой). Известно, что ∠BMP = ∠BMK. Докажите, что: a) углы BPM и BKM равны; b) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

a) Из условия задачи следует, что треугольник BMP равнобедренный с основанием MP. Аналогично треугольник BMK равнобедренный с основанием MK. Следовательно, углы BPM и BKM равны. b) Поскольку углы BPM и BKM равны, то треугольник PBK равнобедренный, а соединение его основания (PK) с точкой M делит треугольник на два равновеликих прямоугольных треугольника, что доказывает перпендикулярность PK и BM.