3. В точке В проведена касательная к окружности с центром О, проведен радиус в точку касания. Найдите угол АОВ, если угол ОАВ = 35° (смотри рисунок).

Решение:

По условию, отрезок АВ является касательной к окружности в точке В, а отрезок ОВ — радиус, проведённый в точку касания. Следовательно, радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ. Это значит, что угол ОВА является прямым углом и равен 90°.

Рассмотрим треугольник АОВ. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. В треугольнике АОВ известны два угла:

• Угол ОАВ = 35° (по условию).
• Угол ОВА = 90° (так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).

Найдем третий угол треугольника АОВ — угол АОВ:

\[ \angle AOB = 180° - \angle OAB - \angle OBA \]

\[ \angle AOB = 180° - 35° - 90° \]

\[ \angle AOB = 180° - 125° \]

\[ \angle AOB = 55° \]

Ответ: Угол АОВ равен 55°.