3. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 5см и 15см. Найдите основания трапеции.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть большее основание трапеции равно a, а меньшее основание равно b.
2. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 5 см и 15 см.
3. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований: \( \frac{a-b}{2} \).
4. Отрезок, примыкающий к вершине острого угла, равен полусумме оснований: \( \frac{a+b}{2} \).
5. Таким образом, у нас есть два случая:
• Случай 1: \( \frac{a-b}{2} = 5 \) см и \( \frac{a+b}{2} = 15 \) см.
• Из первого уравнения: \( a-b = 10 \).
• Из второго уравнения: \( a+b = 30 \).
• Сложим два уравнения: \( (a-b) + (a+b) = 10 + 30 \) → \( 2a = 40 \) → \( a = 20 \) см.
• Подставим \( a=20 \) в \( a+b=30 \): \( 20+b=30 \) → \( b=10 \) см.
• Основания: 20 см и 10 см.
• Случай 2: \( \frac{a-b}{2} = 15 \) см и \( \frac{a+b}{2} = 5 \) см.
• Из первого уравнения: \( a-b = 30 \).
• Из второго уравнения: \( a+b = 10 \).
• Сложим два уравнения: \( (a-b) + (a+b) = 30 + 10 \) → \( 2a = 40 \) → \( a = 20 \) см.
• Подставим \( a=20 \) в \( a+b=10 \): \( 20+b=10 \) → \( b=-10 \) см.
• Длина основания не может быть отрицательной, поэтому этот случай невозможен.
6. Второй возможный вариант — когда высота проведена из вершины острого угла. В этом случае она отсекает от большего основания отрезок, равный полусумме оснований, и отрезок, примыкающий к вершине тупого угла, который равен полуразности оснований. Однако условие задачи гласит «вершины тупого угла».
7. Проверим условие: если большее основание 20 см, а меньшее 10 см, то полуразность \( \frac{20-10}{2} = 5 \) см, а полусумма \( \frac{20+10}{2} = 15 \) см. Это соответствует условию задачи.

Ответ: Основания трапеции равны 20 см и 10 см.