3. В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и BC равны. AK — медиана, BE — высота, BK = 5,5 см, AE = 7,5 см. Найди периметр △ABC.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и BC равны. AK — медиана, значит, K — середина стороны BC. BE — высота, значит, BE ⊥ AC.

Так как AB = BC, то медиана BK является также биссектрисой и высотой. Значит, BK ⊥ AC. Но BE — высота, значит, BE ⊥ AC. Это означает, что точки E и K совпадают, то есть E = K.

Следовательно, BK является и медианой, и высотой. Поэтому точка K делит сторону BC пополам, и BK ⊥ AC.

По условию BK = 5,5 см. Поскольку K — середина BC, то BC = 2 * BK = 2 * 5,5 = 11 см.

Так как AB = BC, то AB = 11 см.

AE = 7,5 см. Поскольку BE — высота, то △ABE — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.

В △ABE по теореме Пифагора: $$AB^2 = AE^2 + BE^2$$.

Мы знаем, что AB = 11 см и AE = 7,5 см.

Но нам неизвестна длина BE.

Рассмотрим △ABC. AB = BC = 11 см. AE = 7,5 см.

В равнобедренном треугольнике ABC, проведенная из вершины B высота BE делит основание AC пополам, если AB = BC. Но у нас AB = BC, значит, AC — основание.

Следовательно, E — середина AC. AE = EC = 7,5 см. Тогда AC = AE + EC = 7,5 + 7,5 = 15 см.

Периметр △ABC = AB + BC + AC = 11 + 11 + 15 = 37 см.

Проверка: В △BKE (где E = K), BK = 5.5, AE = 7.5. Это противоречие, так как BE = BK, но AE ≠ AK.

Переосмыслим условие. AB = BC. AK — медиана (K — середина BC). BE — высота (BE ⊥ AC).

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, высота BE делит основание AC пополам. Значит, AE = EC. По условию AE = 7,5 см, следовательно, EC = 7,5 см, и AC = 15 см.

AK — медиана, значит, K — середина BC. BC = AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. $$AB^2 = AE^2 + BE^2$$.

Рассмотрим треугольник ABK. AB, BK = 5.5, AK — медиана. K — середина BC.

Так как AB = BC, то медиана AK, проведенная к боковой стороне, не равна медиане, проведенной к другой боковой стороне. И не обязательно равна высоте.

Ещё раз: AB = BC. AK — медиана => K — середина BC. BE — высота => BE ⊥ AC.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) высота BE, проведенная к основанию AC, делит его пополам. Значит, AE = EC = 7.5 см. Тогда AC = 15 см.

BK = 5.5 см. K — середина BC.

По условию AB = BC. Значит, BC = AB.

В △BKE (где K=E), BK = 5.5. Но E=K, значит BE = BK = 5.5 см.

В прямоугольном △ABE: $$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 7.5^2 + 5.5^2 = 56.25 + 30.25 = 86.5$$.

$$AB = \sqrt{86.5}$$ см.

Так как AB = BC, то BC = $$\sqrt{86.5}$$ см.

Периметр △ABC = AB + BC + AC = $$\sqrt{86.5} + \sqrt{86.5} + 15 = 2\sqrt{86.5} + 15$$ см.

Это число не очень удобное. Вернемся к условию: BK = 5.5 см, AE = 7.5 см.

В равнобедренном треугольнике AB=BC. AK - медиана, значит K - середина BC. BE - высота, значит BE ⊥ AC.

Так как AB=BC, то высота BE, опущенная на основание AC, делит его пополам. Значит AE = EC = 7.5 см. Тогда AC = 15 см.

BK = 5.5 см. K - середина BC. Значит, BC = 2 * BK, если BK - высота, но BK - медиана.

Следовательно, BC = AB. AK - медиана. K - середина BC.

По свойству равнобедренного треугольника, если AB=BC, то медиана, проведенная к стороне AC, является высотой. Но AK не проводится к AC.

Рассмотрим △ABE, он прямоугольный (BE - высота). $$AB^2 = AE^2 + BE^2$$.

Рассмотрим △ABC: AB = BC. AK - медиана. K - середина BC. BE - высота. BE ⊥ AC.

Если AB = BC, то высота BE, опущенная на основание AC, делит его пополам. AE = EC. AE = 7.5, значит EC = 7.5, AC = 15.

AK - медиана. K - середина BC. Значит BK = KC.

BK = 5.5 см. Значит KC = 5.5 см. BC = BK + KC = 5.5 + 5.5 = 11 см.

Так как AB = BC, то AB = 11 см.

Теперь в прямоугольном △ABE: $$AB^2 = AE^2 + BE^2$$.

$$11^2 = 7.5^2 + BE^2$$.

$$121 = 56.25 + BE^2$$.

$$BE^2 = 121 - 56.25 = 64.75$$.

$$BE = \sqrt{64.75}$$ см.

Мы нашли стороны AB = 11 см, BC = 11 см, AC = 15 см.

Периметр △ABC = AB + BC + AC = 11 + 11 + 15 = 37 см.

Ответ: Периметр △ABC равен 37 см.