3. В прямоугольном треугольнике АВС угол между биссектрисой СК и высотой СН, проведёнными из вершины прямого угла С, равен 10°, АВ = 10 см. Найдите сторону ВС, если известно, что точка К лежит между А и Н.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) \( \angle C = 90° \). СК — биссектриса \( \angle C \), СН — высота, опущенная на гипотенузу AB.

1. Так как СК — биссектриса \( \angle C \), то она делит прямой угол пополам:

\( \angle ACK = \angle BCK = \frac{90°}{2} = 45° \).

2. Дано, что угол между биссектрисой СК и высотой СН равен 10°. Это может быть \( \angle KCH = 10° \).

3. В прямоугольном \( \triangle ABC \), высота СН делит прямой угол \( \angle C \) на два угла: \( \angle ACH \) и \( \angle BCH \).

\( \angle ACH + \angle BCH = 90° \).

4. Так как \( \angle KCH = 10° \), то возможны два случая:

• Случай 1: \( \angle ACK = \angle ACH + \angle KCH \)

\( 45° = \angle ACH + 10° \)

\( \angle ACH = 45° - 10° = 35° \)

• Случай 2: \( \angle KCH = \angle KCA - \angle HCA \) (или \( \angle KCH = \angle HCB - \angle KCB \))

Из условия, что точка К лежит между А и Н, следует, что биссектриса СК находится между высотой СН и стороной AC. Это означает, что \( \angle ACH \) меньше \( \angle ACK \) (45°).

Значит, \( \angle ACH = 35° \).

5. Найдем \( \angle BCH \):

\( \angle BCH = 90° - \angle ACH = 90° - 35° = 55° \).

6. В прямоугольном \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 90° - \angle ABC = 90° - \angle BCH = 90° - 55° = 35° \).

\( \angle ABC = 90° - \angle BAC = 90° - 35° = 55° \).

7. Рассмотрим \( \triangle BСH \). Это прямоугольный треугольник, так как СН — высота.

\( \angle BCH = 55° \), \( \angle B = 55° \). Это означает, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, что противоречит \( \angle BAC \) = 35° и \( \angle ABC \) = 55°.

Пересмотрим условие: угол между биссектрисой СК и высотой СН равен 10°. Мы нашли, что \( \angle ACK = 45° \) и \( \angle BCH \) в прямоугольном треугольнике равен \( \angle BAC \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( \frac{\angle C}{2} = 45° \). Угол между биссектрисой и высотой \( \angle KCH = |\angle ACK - \angle ACH| = |45° - \angle ACH| = 10° \).

\( \angle ACH = 45° - 10° = 35° \) или \( \angle ACH = 45° + 10° = 55° \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( \frac{\angle C}{2} = 45° \). Угол между биссектрисой и высотой \( \angle KCH = |\angle BCK - \angle BCH| = |45° - \angle BCH| = 10° \).

\( \angle BCH = 45° - 10° = 35° \) или \( \angle BCH = 45° + 10° = 55° \).

Связь между углами:

\( \angle BAC = 90° - \angle ABC \).

\( \angle ACH = \angle ABC \)

\( \angle BCH = \angle BAC \)

Из условия, что точка К лежит между А и Н, следует, что биссектриса СК находится между высотой СН и стороной AC. Это означает, что \( \angle ACH < \angle ACK \) и \( \angle BCH > \angle BCK \).

Значит, \( \angle ACH = 35° \) и \( \angle BCH = 55° \).

Тогда \( \angle BAC = 55° \) и \( \angle ABC = 35° \).

8. Теперь рассмотрим \( \triangle ABC \) с \( \angle BAC = 55° \), \( \angle ABC = 35° \) и \( \angle C = 90° \). Гипотенуза \( AB = 10 \) см.

Найдем сторону BC:

\( BC = AB \cdot \sin(\angle BAC) \)

\( BC = 10 \cdot \sin(55°) \)

Используем калькулятор для \( \sin(55°) \) ≈ 0.819.

\( BC \approx 10 \cdot 0.819 \approx 8.19 \) см.

Ответ: \( BC = 10 \sin(55°) \) см (или приблизительно 8.19 см).