3). В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90° ∠B = 30°, BC = 18 см. СК ⊥ AB. КМ ⊥ BC. Найдите МВ.

Решение:

1. В прямоугольном \( \triangle ABC \): \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \).
2. Найдем \( \angle BAC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
3. В \( \triangle ABC \) катет \( AC \) лежит напротив угла \( 30^{\circ} \), поэтому \( AC = BC / \sqrt{3} = 18 / \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) см.
4. \( CK \) — высота, проведенная из вершины прямого угла. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BKC \): \( \angle BKC = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \).
5. Найдем \( BK \) в \( \triangle BKC \). Катет \( CK \) лежит напротив угла \( 30^{\circ} \), поэтому \( CK = BK / 2 \) или \( BK = 2 CK \).
6. Также в \( \triangle ABC \): \( \sin B = AC / AB \) \( \Rightarrow AB = AC / \sin B = 6\sqrt{3} / \sin 30^{\circ} = 6\sqrt{3} / (1/2) = 12\sqrt{3} \) см.
7. Или \( \cos B = BC / AB \) \( \Rightarrow AB = BC / \cos B = 18 / \cos 30^{\circ} = 18 / (\sqrt{3}/2) = 36 / \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см.
8. \( KM \perp BC \). \( M \) лежит на \( BC \). \( K \) лежит на \( AB \). \( KM \) — это расстояние от точки \( K \) до прямой \( BC \).
9. В \( \triangle ABC \): \( \text{ctg } B = BC / AC \) \( \Rightarrow AC = BC / \text{ctg } 30^{\circ} = 18 / \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) см.
10. Рассмотрим \( \triangle CKM \). \( \angle C = 90^{\circ} \). \( KM \perp BC \), значит \( \angle KMC = 90^{\circ} \).
11. В \( \triangle ABC \) с \( \angle B = 30^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), \( CK \perp AB \). \( \triangle BKC \) подобен \( \triangle ABC \).
12. \( \angle KCB = \angle B = 30^{\circ} \).
13. Рассмотрим \( \triangle CKM \): \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle KCM = \angle KCB = 30^{\circ} \).
14. \( KM \) — катет, лежащий напротив угла \( 30^{\circ} \). \( CM \) — катет, прилежащий к углу \( 30^{\circ} \).
15. \( CM = KM \cdot \text{ctg } 30^{\circ} = KM \cdot \sqrt{3} \).
16. В \( \triangle BKC \): \( BK = BC \cdot \cos 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.
17. \( AB = 12\sqrt{3} \) см.
18. \( AK = AB - BK = 12\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) см.
19. Высота \( CK \) в \( \triangle ABC \) равна \( \frac{AC · BC}{AB} = \frac{6\sqrt{3} \cdot 18}{12\sqrt{3}} = \frac{108}{12} = 9 \) см.
20. В \( \triangle CKM \): \( KM = CK \cdot \sin 30^{\circ} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \) см.
21. \( CM = CK \cdot \cos 30^{\circ} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.
22. \( MB = BC - CM = 18 - \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.
23. Альтернативный подход: \( \triangle ABC \) подобен \( \triangle BKC \). \( \frac{BC}{AB} = \frac{BK}{BC} \) \( \Rightarrow BK = \frac{BC^2}{AB} = \frac{18^2}{12\sqrt{3}} = \frac{324}{12\sqrt{3}} = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3} \) см.
24. \( MK \perp BC \). \( M \) лежит на \( BC \). \( K \) лежит на \( AB \). \( MK \) — высота \( \triangle KBC \) из \( K \) на \( BC \) (или на продолжение).
25. \( \triangle MBK \) — прямоугольный, \( \angle B = 30^{\circ} \). \( MK = BK \cdot \sin 30^{\circ} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.
26. \( MB = BK \cdot \cos 30^{\circ} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \) см.

Ответ: 13.5 см.