3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 12, BC = 4, AA₁ = 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A₁, B₁, D₁, C.

Задание 3. Объём многогранника

Дано:

• Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
• AB = 12
• BC = 4
• AA₁ = 6

Найти: Объём многогранника с вершинами A₁, B₁, D₁, C.

Решение:

Многогранник с вершинами A₁, B₁, D₁, C является тетраэдром (пирамидой с четырьмя гранями).

Рассмотрим параллелепипед. Ребро AB перпендикулярно ребру BC, и оба являются основаниями прямоугольника ABCD. AA₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD.

Мы можем использовать формулу объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \), где \( S_{\text{основания}} \) — площадь основания, а \( h \) — высота.

В нашем случае, основанием пирамиды может служить треугольник, например, \( \triangle AB C \). Ребро \( BC \) равно 4, а ребро \( AB \) равно 12. Площадь прямоугольного треугольника \( \triangle AB C \) равна:

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 \]

Теперь определим высоту пирамиды. Если мы возьмем \( \triangle ABC \) за основание, то вершина \( C \) может быть выбрана как одна из вершин. Однако, более удобным будет выбрать другую грань.

Рассмотрим грань AA₁D₁D. Это прямоугольник. Ребро \( AD \) равно \( BC \) = 4. Ребро \( AA_1 \) равно 6. Также, \( A_1D_1 \) равно \( BC \) = 4, и \( A_1B_1 \) равно \( AB \) = 12.

Многогранник A₁B₁D₁C является тетраэдром. Его можно представить как часть параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен \( V_{\text{параллелепипеда}} = AB \times BC \times AA_1 = 12 \times 4 \times 6 = 288 \).

Рассмотрим тетраэдр A₁B₁D₁C. Его можно представить как часть параллелепипеда. Можно рассматривать тетраэдр как пирамиду с основанием \( \triangle A_1B_1D_1 \) и вершиной \( C \).

Площадь основания \( \triangle A_1B_1D_1 \) равна половине площади прямоугольника \( A_1B_1C_1D_1 \). Площадь этого прямоугольника равна \( A_1B_1 \times B_1C_1 = 12 \times 4 = 48 \). Таким образом, площадь \( \triangle A_1B_1D_1 \) равна \( \frac{1}{2} \times 48 = 24 \).

Теперь найдем высоту. Расстояние от точки \( C \) до плоскости \( A_1B_1D_1 \) равно высоте параллелепипеда, которая равна \( AA_1 = 6 \).

Объем тетраэдра A₁B₁D₁C будет:

\[ V_{\text{тетраэдра}} = \frac{1}{3} \times S_{\triangle A_1B_1D_1} \times h = \frac{1}{3} \times 24 \times 6 = 8 \times 6 = 48 \]

Альтернативный подход:

Объем тетраэдра, образованного тремя ребрами, исходящими из одной вершины, равен \( \frac{1}{6} \) объема параллелепипеда. Но здесь вершины расположены иначе.

Можно также рассмотреть тетраэдр как тело, образованное плоскостями \( x=0, y=0, z=0 \) и плоскостью, проходящей через точки \( A_1, B_1, D_1, C \).

В данном случае, тетраэдр A₁B₁D₁C можно разбить на более простые фигуры или рассмотреть как часть параллелепипеда.

Объем параллелепипеда равен \( 12 \times 4 \times 6 = 288 \).

Рассмотрим тетраэдр CB D A₁. Его объем равен \( \frac{1}{6} \) объема параллелепипеда. \( V = \frac{1}{6} \times 288 = 48 \). Это одна из возможных пирамид, образуемых вершинами параллелепипеда.

Рассмотрим вершины A₁, B₁, D₁, C. Можно представить этот тетраэдр как пирамиду с основанием \( \triangle CB D \) и вершиной \( A_1 \). Площадь \( \triangle CB D \) равна половине площади прямоугольника ABCD, т.е. \( \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 \). Высота от \( A_1 \) до плоскости ABCD равна \( AA_1 = 6 \).

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\triangle CBD} \times AA_1 = \frac{1}{3} \times 24 \times 6 = 48 \]

Ответ: 48.