3. В прямоугольном ДАВС с прямым углом С ∠A=30°, гипотенуза AB=10 см, катет АС=7см. Найти катет ВС и периметр ДАВС.

Задание 3. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Прямоугольный \( \triangle ABC \).
• \( \angle C = 90^\circ \).
• \( \angle A = 30^\circ \).
• Гипотенуза \( AB = 10 \) см.
• Катет \( AC = 7 \) см.

Найти:

Катет \( BC \) и периметр \( P \) \( \triangle ABC \).

Решение:

1. Нахождение катета BC:

1. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет \( BC \) противолежит углу \( \angle A = 30^\circ \).
2. Следовательно, \( BC = \frac{1}{2} AB \).
3. Подставим значение гипотенузы: \( BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см} \).
4. Примечание: По условию задачи дан катет \( AC = 7 \) см. Если \( \angle A = 30^\circ \) и \( \angle C = 90^\circ \), то \( \angle B = 60^\circ \). В таком треугольнике катет \( BC \) (противолежащий \( \angle A \)) должен быть равен \( 5 \) см, а катет \( AC \) (прилежащий \( \angle A \)) должен быть равен \( AB \) \( \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \) см.
5. Если же принять \( AC = 7 \) см, то \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{10} = 0.7 \). В этом случае \( \angle A = \arccos(0.7) \approx 45.57^\circ \), а не \( 30^\circ \).
6. Исходя из условий, возникает противоречие. Наиболее вероятная опечатка — это значение катета AC. Будем решать, исходя из данных \( \angle A = 30^\circ \) и \( AB = 10 \) см.
7. Тогда \( BC = 5 \) см.

2. Нахождение периметра \( \triangle ABC \):

1. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: \( P = AB + AC + BC \).
2. Используя данные \( AB = 10 \) см, \( BC = 5 \) см, и рассчитанное значение \( AC = 5\sqrt{3} \) см (согласно \( \angle A = 30^\circ \)):
3. \( P = 10 \text{ см} + 5\sqrt{3} \text{ см} + 5 \text{ см} = (15 + 5\sqrt{3}) \text{ см} \).
4. Приблизительное значение: \( P \approx (15 + 5 \times 1.732) \text{ см} = (15 + 8.66) \text{ см} = 23.66 \text{ см} \).
5. Если же использовать данное в условии \( AC = 7 \) см, то:
6. \( P = 10 \text{ см} + 7 \text{ см} + 5 \text{ см} = 22 \text{ см} \). (Это решение соответствует случаю, когда \( \angle A \) не равно \( 30^\circ \), а \( BC = 5 \) найдено по теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 7^2} = \sqrt{100 - 49} = \sqrt{51} \approx 7.14 \) см, что противоречит \( BC = 5 \) см).
7. Наиболее логичным является игнорирование значения \( AC=7 \) см и использование \( \angle A = 30^\circ \) и \( AB=10 \) см.

Ответ: Катет BC = 5 см. Периметр \( \triangle ABC = (15 + 5\sqrt{3}) \text{ см} \) (приблизительно \( 23.66 \) см).