3. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 известно, что АВ = √3АА1. Найдите угол между прямыми АС1 и ВВ₁ (см. рис. 132). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим длину ребра основания призмы как $$a$$ и высоту призмы как $$h$$. Тогда $$a = \sqrt{3}h$$.

В правильной треугольной призме все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Прямая $$BB_1$$ является боковым ребром и перпендикулярна основанию $$ABC$$. Следовательно, $$BB_1$$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку $$B$$.

Прямая $$AC_1$$ не параллельна прямой $$BB_1$$ и не пересекает ее. Чтобы найти угол между этими прямыми, нужно привести их к одной точке пересечения. Для этого проведем через точку $$A$$ прямую, параллельную $$BB_1$$. Эта прямая будет перпендикулярна основанию $$ABC$$ и будет лежать в плоскости боковой грани $$ABB_1A_1$$.

Рассмотрим прямую $$AC_1$$ и прямую $$BB_1$$. Так как $$BB_1$$ параллельна $$AA_1$$, угол между $$AC_1$$ и $$BB_1$$ равен углу между $$AC_1$$ и $$AA_1$$.

Рассмотрим треугольник $$AA_1C_1$$. Это прямоугольный треугольник, так как $$AA_1$$ перпендикулярна плоскости $$A_1B_1C_1$$.

Длина $$A_1C_1$$ равна стороне правильного треугольника $$A_1B_1C_1$$, то есть $$A_1C_1 = a$$.

Длина $$AA_1$$ равна высоте призмы $$h$$.

В прямоугольном треугольнике $$AA_1C_1$$, тангенс угла $$C_1AA_1$$ равен отношению противолежащего катета $$A_1C_1$$ к прилежащему катету $$AA_1$$:

• \[ \tan(\angle C_1AA_1) = \frac{A_1C_1}{AA_1} = \frac{a}{h} \]

По условию $$a = sqrt{3}h$$. Подставим это в формулу:

• \[ \tan(\angle C_1AA_1) = \frac{\sqrt{3}h}{h} = sqrt{3} \]

Угол, тангенс которого равен $$sqrt{3}$$, равен 60 градусам.

Угол между прямыми $$AC_1$$ и $$BB_1$$ равен углу $$C_1AA_1$$.

Финальный ответ:

Ответ: 60