3. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите тангенс угла ADD₁.

Решение:

Правильная шестиугольная призма имеет в основании правильный шестиугольник. Все боковые ребра перпендикулярны основаниям.

По условию, все ребра равны 1, то есть сторона основания \( AD = 1 \) и боковое ребро \( DD_1 = 1 \).

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В данном случае, угол ADD₁ — это угол между ребром AD и ребром DD₁.

Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это значит, что ребро \( DD_1 \) перпендикулярно любой прямой в основании, проходящей через точку D, в том числе и прямой AD.

Таким образом, угол ADD₁ равен 90 градусам, так как AD лежит в основании, а DD₁ — боковое ребро, перпендикулярное основанию.

Тангенс угла 90 градусов не определен.

Однако, если подразумевается угол между диагональю основания AD₁ и боковым ребром DD₁, то рассмотрим треугольник ADD₁.

Стороны прямоугольного треугольника ADD₁:

• AD = 1 (сторона основания)
• DD₁ = 1 (боковое ребро)

Угол ADD₁ является прямым, то есть \( \angle ADD_1 = 90^{\circ} \). Тангенс этого угла не определен.

Предположим, что в условии задачи имеется в виду угол между ребром AD₁ и плоскостью основания ABCDEF. Тогда проекцией AD₁ на плоскость основания является отрезок AD. Угол между AD₁ и плоскостью основания — это угол AD₁D. В прямоугольном треугольнике ADD₁:

• Катет, противолежащий углу AD₁D: DD₁ = 1
• Катет, прилежащий к углу AD₁D: AD = 1

Тогда \( \tan(\angle AD_1D) = \frac{AD}{DD_1} = \frac{1}{1} = 1 \).

Если же имелся в виду угол между ребром AD₁ и ребром DD₁, то этот угол также равен 90 градусов, и его тангенс не определен.

Исходя из формулировки «угла ADD₁», и учитывая, что AD и DD₁ являются рёбрами, и DD₁ перпендикулярно AD, угол ADD₁ является прямым, т.е. 90 градусов.

Если же имелся в виду угол между ребром AD₁ и плоскостью основания, то это угол AD₁D. В прямоугольном треугольнике ADD₁:

\( \tan(\angle AD_1D) = \frac{AD}{DD_1} = \frac{1}{1} = 1 \).

Исходя из вероятной ошибки в постановке вопроса и стандартных задач на призмы, будем считать, что ищется тангенс угла между диагональю боковой грани и стороной основания. То есть, тангенс угла AD₁D.

Ответ: 1.